增长率专题：（增长率可以简写成 r ）

1、增长率表示两者变化的相对量

2、增长率 $= \frac{增长量}{基期量}$ = $\frac{增长量}{现期量 - 增长量}$ = $\frac{现期量 - 基期量}{基期量}$ = $\frac{现期量}{基期量} - 1$

3、增长率又称、或者、、等

4、增长率为负数时表示下降，下降率也可以直接写成负的增长率

一、增幅、降幅、变化幅度

1、增幅（增长率/增速）
1. 可正可负
2. 带正负号比较→ 5% ＞ -10%
2、降幅
1. 增长率为负
2. 比较时看绝对值→ |-5%| ＜ |-10%|
3、变化幅度
1. 增长率可正可负
2. 比较时看绝对值→ |5%| ＜ |-10%|
4、求增长率方法
1. 出现增速
  1. ①2024年收入10万元，同比增长10%，增速比去年提高5个百分点。则2023年的增长率为：
  2. ②2024年收入10万元，同比增长10%，增速比去年回落5个百分点。则2023年的增长率为：
  3. 解：。①出现增速，直接使用高减低加，10%-5%=5%，所以2023年的增长率为5%。②出现增速，直接使用高减低加，10%+5%=15%，所以2023年的增长率为15%。
2. 出现降幅
  1. ①2024年收入10万元，同比下降10%，降幅比去年扩大5个百分点。则2023年的增长率为：
  2. ②2024年收入10万元，同比下降10%，降幅比去年收窄5个百分点。则2023年的增长率为：
  3. 解：。①出现降幅，先不带符号用“高减低加”，10%-5%=5%，后面再添“负号”,则2023年的增长率为：-5%。②出现降幅，先不带符号用“高减低加”，10%+5%=15%，后面再添“负号”，则2023年的增长率为：-15%。

二、百分数与百分比

1、百分数：表示两个量的比例关系，用除法计算
1. 例如：2022年为150，21年为100，则22年比21年增长 $\frac{150 - 100}{100}$ = 50%
2、百分点：表示百分数的变化，用加减法计算
1. 例如：22年为70%，21年为20%，则22年比21年增长 70-20=50 个百分点
3、考察形式：给出一个百分数和百分点，求另一个百分数
1. 22年为70%，比21年提高了20个百分点，则21年为 50%
2. 22年为70%，比21年降低了20个百分点，则21年为 90%

三、间隔增长率

1、题型识别：中间隔一个时期（一般隔1年），求增长率。例如有三个时期2022、2023、2024，已知2023与2022相比较的增长率为 $r_{1}$ ，2024与2023比较的增长率为 $r_{2}$ 。求2024与2022相比较的增长率 $r$ ，这种题型称为间隔增长率。
2、公式： $r = r_{1} + r_{2} + r_{1} \times r_{2}$
3、公式推导：设2022年量为1，知道基期及增长率，根据现期公式（基期+(基期×增长率)）则2023量为1+(1× $r_{1}$ )=1+ $r_{1}$ ，2024年量为(1+ $r_{1}$ )+(1+ $r_{1}$ )× $r_{2}$ =1+ $r_{1}$ + $r_{2}$ + $r_{1}$ × $r_{2}$ ，则2024年与2022年比较的增长率= $\frac{现期 - 基期}{基期}$ = $\frac{1 + r 1 + r 2 + r 1 \times r 2 - 1}{1}$ = $r 1$ + $r 2$ + $r 1$ * $r 2$
4、速算技巧
1. ①先算加法 $r_{1}$ + $r_{2}$ ，排除选项
2. ②如果 $r_{1}$ 和 $r_{2}$ 均小于10%，可忽略乘法。示例：5%+8%+5%×8%≈？由于5%、8%均小于10%，可以忽略r1 × r2，则原式≈5%+8%=13%。
3. ③如果 $r_{1}$ 或 $r_{2}$ 大于10%，其中一个百分化。示例：5%+36%+5%×36%≈？由于36%>10%， $r_{1}$ × $r_{2}$ 不能忽略。可以将5%化成分数为1/20，然后计算36%/20=1.8%，则原式≈41%+1.8%=42.8%。

例: (2017-国家)2015年全行业全年生产手表10.7亿只，同比增长3.9%，完成产值约417亿元，同比增长4.3%，增速提高1.9个百分点；生产时钟(含钟心)5.2亿只，同比下降3.7%，完成产值162亿元，同比下降4.7%，降幅扩大1.3个百分点
问：2015年我国钟表全行业生产时钟(含钟心)的产值与2013年相比约( )

A.上升了11% B.下降了11%
C.上升了8% D.下降了8%

解析

本题问2015与2013年相比，中间隔一个时期。本题是间隔增长率计算问题。根据题干2014年我国钟表全行业生产时钟(含钟心)的产值的增长率是-(4.7%-1.3%)=-3.4%，那么两期间隔增长率就是，-4.7%-3.4%+4.7%×3.4%，非常接近-8.1%，结合选项选择D选项。

四、乘积增长率

1、什么是乘积增长率：即量之间满足C＝B×A形式时，已知a%，b%，求C的增长率c%，求解C的增长率，即C的增长率为乘积增长率。
2、乘积增长率的基础公式计算： $r_{c}$ = $r_{a}$ + $r_{b}$ + $r_{a}$ × $r_{b}$ (与间隔增长率公式一样)
3、乘积增长率常用题型:
1. 平均数类问题，总数＝平均数×个数，求解总数的增长率时:
2. 比重类问题，部分量＝整体量×比重，求解部分量的增长率时；
3. 经济利润问题，总价＝单价×数量，求解总价的增长率时；
4、公式推导过程：例如单位面积产量(A)的增长率为a，面积(B)的增长率为b，求总产量的增长率c?
1. ①其中有个等式：总产量=(A)单位面积产量×(B)面积
2. ②总产量增长率公式(c)= $\frac{总产量现期 - 总产量基期}{总产量基期}$
3. ③总产量现期=A×B，总产量基期=单位面积产量基期×面积基期= $\frac{A}{1 + a} \times \frac{B}{1 + b}$
4. ④带入值，即： $c = \frac{A \times B - \frac{A}{1 + a} \times \frac{B}{1 + b}}{\frac{A}{1 + a} \times \frac{B}{1 + b}}$
5. ⑤化简：c=AB× $\frac{(1 + a) * (1 + b)}{A \times B}$ -1 = a+b+a×b

例: 2019年1—8月，房地产开发企业土地购置面积12236万平方米，同比下降25.6%,每平方米土地价格同比上涨4.5%，土地成交额6374亿元。
问：2019年1—8月，房地产开发企业土地成交额与去年同期相比增长约为：

A.-17% B.-22%
C.-27% D.1.2%

解析

题目中有3个主体词：土地成交额、土地购置面积、土地价格，通过观察可以发现它们满足一个关系式：成交额A＝购置面积B×价格C，它们的增长率分别可以用rA、rB、rC表示。知道rB、rC，求rA，我们可以使用基本公式：rA=rB＋rC＋rB×rC，代入计算可得rA=-25.6%＋4.5%-25.6%×4.5%，（注意下降一定不要忘记带负号）大致计算-25.6%＋4.5%可知-22%最接近，答案应选B。

五、混合增长率

定义：混合增长率的关键在于“混合”，混合即为不同事物交叉混合在一起，那么混合增长率也就是混合后所形成的整体量的增长率，如全班人=男人+女人，那么全班人就是男人和女人混合后所形成的整体量，男人和女人为两个部分量，则全班人的增长率就是整体量的增长率，也可称之为混合增长率。

1、举例：一杯含盐量为20%的盐水，和同样大小的一杯清水(含盐量为0%)，将盐水和清水倒到一个大杯子里形成混合液体，则混合液体的含盐量在0%-20%范围内。及
2、题型：部分混合得到整体，求整体增长率（进出口、城镇乡村全国、男女、房地产、1~N月、季度全年半年、A与非A等）
3、公式： $\frac{A}{B} = \frac{c - b}{a - c}$ 【a，b为部分增长率，c为整体增长率，A，B为基期】
1. 口诀
  1. ●混合后的放中间，混合前的放两边
  2. ●先求两者增长率平均值（ $\frac{a + b}{2}$ ），然后看谁量大（）混合后的增长率就往谁靠
  3. ●注：

4、计算混合增长率的方法：
1. 1.十字交叉法
2. 2.线段法

txt

     1、线段长度（增长率差值）与基期量成反比
     2、a，b为部分增长率，c为混合增长率，A，B为基期
     a       a-c           c          c-b       b 
     |                     |                    |
     --------------------------------------------
             A                      B
     公式：(c-b)/(a-c)=A/B，把已知量带入求解

五、公式推导过程：
1. 定义部分和整体的基期量和对应增长率：
  部分整体
  基期增长率基期增长率
  $A_{1}$ $r_{1}$ A r
  $A_{2}$ $r_{2}$

部分	整体
基期	增长率	基期	增长率
$A_{1}$	$r_{1}$	A	r
$A_{2}$	$r_{2}$

其中：，即有：
①整体基期： $A_{1}$ + $A_{2}$ = $A$
②整体增长量： $A_{1} r_{1}$ + $A_{2} r_{2}$ = $A r$
将整体基期公式①代入整体增长量公式②右侧，则有： $A_{1} r_{1}$ + $A_{2} r_{2}$ = $A r$ =( $A_{1} + A_{2}$ ) $r$ = $A_{1} r$ + $A_{2} r$
移向得： $A_{1} r_{1}$ - $A_{1} r$ = $A_{2} r$ - $A_{2} r_{2}$
提取公因数得： $A_{1}$ ( $r_{1}$ - $r$ )= $A_{2}$ ( $r$ - $r_{2}$ )
则有： $\frac{A_{1}}{A_{2}} = \frac{r - r 2}{r_{1} - r}$

例: 2017年，A省完成邮电业务总量6065.71亿元。其中，电信业务总量3575.86亿元，同比增长75.8%;邮政业务总量2489.85亿元，增长32.0%。
问：2017年A省邮电业务总量同比增速在以下哪个范围之内?

A.低于25% B.25%～50%之间
C.50%～75%之间 D.超过75%

解析

看完题目可以得出等式，完成邮电业务总量=电信业务总量+邮政业务总量，并且给出混合前的增速，混合后的增速没给，本题考查混合增长率计算。
定位文字材料，“A省完成邮电业务总量6065.71亿元。其中，电信业务总量3575.86亿元，同比增长75.8%;邮政业务总量2489.85亿元，增长32.0%”。
利用混合增速性质可知，整体增速介于部分增速之间，故邮电业务总量的增速介于32%-75.8%之间，排除A。其次，根据混合增速的大小居中但偏向于基期量大的性质，比较电信和邮政的基期量分别为 $\frac{3575.86}{1 + 75.8}$ 和 $\frac{2489.85}{1 + 32}$ ，为什么要算基期，因为增长率差距太大了，如果差距不大可以直接用现期。然后直除首位分别为2和1，可知前者大于后者，故邮电的增长率应偏向电信的增速75.8%。如果需要精确计算带入公式即可。因此，选择C选项。

六、年均增长率

定义：年均增长率是统计学中的一个概念，也被称为复合增长率。它表示在一定年限内，平均每年增长的速度。

1、题型识别：年均 + 增长 + %
2、公式： $（ 1 + r ）^{n}$ = $\frac{现期}{基期}$ （n=现期年份 - 基期年份，r为年均增长率）
3、公式化简： $r$ = $\sqrt[n]{\frac{现期}{基期}}$ -1 < $\frac{\frac{现期}{基期} - 1}{n}$ (估算公式)
4、速算
1. 注：优先求【 $\frac{现期}{基期}$ 】
2. 如果 r <= 5%，r²近似为0，所以原式可以写成： $\frac{现期}{基期}$ = 1+nr
3. 如果 r > 5%， $\frac{现期}{基期}$ > 1+nr
5、年均增长率比较：年份n相同，直接比较【 $\frac{现期}{基期}$ 】

例: 2014年-2018年全国研究与试验发展(R&D)经费支出分别为13016亿元、14170亿元、15677亿元、17606亿元、19657亿元。
问：2014-2018 年全国研究与试验发展(R&D)经费支出年均增长约( )。

A.9.1% B.10.9%
C.14.2%之间 D.19.3%

解析

本题求2014年~2018年的R&D经费支出的年均增长率，因为直接用年均增长率的基本公式进行求解，需要开n次根号，不好计算，故用估算公式进行估算。 $\frac{\frac{19659}{13016} - 1}{4}$ =12.8%，该估算公式所得结果比真实结果偏大一点，故选择一个比12.8%小且接近12.8%的选项，结合选项，选择B。

七、平均数增长率

1、平均数增长率：就是平均数的增长率，要同时体现平均数、增长率两层含义。比如2021年人均收入比去年增加了百分之多少或2021年人均收入是去年的多少倍，这就是要求平均增长率。
2、题型识别：之前的时期+均/每/单位
3、公式： $\frac{a - b}{1 + b}$ ，其中a表示平均数中分子的增长率，b表示分母的增长率。‌
4、公式推导过程：
1. 现期的平均数为 $\frac{总数}{个数}$ ，我们用 $\frac{A}{B}$ 表示
2. 则基期的平均数为 $\frac{A}{B}$ × $\frac{1 + b}{1 + a}$
3. 带入增长率公式 $\frac{现期}{基期}$ -1，即 $\frac{\frac{A}{B}}{\frac{A}{B} \times \frac{1 + b}{1 + a}}$ -1
4. 化简： $\frac{1 + a}{1 + b}$ -1= $\frac{a - b}{1 + b}$
5、计算：
1. ①计算分子a-b
  1. a-b>0，现期的平均数是同比上升的
  2. a-b<0，现期的平均数是同比下降的
2. ②再看b符号
  1. 当b>0，分母（1+b）>1，结果的绝对值<|a-b|
  2. 当b<0，分母（1+b）<1，结果的绝对值>|a-b|
3. 通过步骤①可以排除两个选项，大部分题目只要通过步骤②就可以选择答案了
6、提醒：该公式可以用于求 $\frac{A}{B}$ 类型的增长率，虽然叫“平均”，公式的使用并不限制“平均”的题型，比如求比重的增长率也可以用这个公式，因为比重= $\frac{部分}{整体}$ 。

例: 2016年全国餐饮收入35799亿元，同比增长10.8%，餐饮收入占社会消费品零售总额的比重为10.8%。2016年全社会餐饮业经营单位为365.5万个，同比下降8.2%；从业人数为1846.0万人，同比增长5.7%。
问：2016年全社会餐饮业平均每个经营单位的从业人数比上年约：（）

A.减少了2% B.减少了15%
C.增加了2% D.增加了15%

解析

问题存在“平均每个”和“比上年”，推断为平均增长率题型。2016年全社会餐饮业经营单位为365.5万个，同比下降8.2%，从业人员为1846.0万人，同比增长5.7%。根据平均数增长率=(a%-b%)/(1+b%)，故平均数增长率为(5.7%+8.2%)/(1-8.2%)=13.9%/(1-8.2%)＞13.9%，仅D符合。

增长率专题：（ 增长率可以简写成 r ） ​

一、增幅、降幅、变化幅度 ​

二、百分数与百分比 ​

三、间隔增长率 ​

四、乘积增长率 ​

五、混合增长率 ​

六、年均增长率 ​

七、平均数增长率 ​