增长率专题：（增长率可以简写成 r ）

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1、增长率表示两者变化的相对量
2、增长率＝ $\frac{增长量}{基期量}$ ＝ $\frac{增长量}{现期量 - 增长量}$ ＝ $\frac{现期量 - 基期量}{基期量}$ ＝ $\frac{现期量}{基期量} - 1$
3、增长率又称、或者、、等
4、增长率为负数时表示下降，下降率也可以直接写成负的增长率

例：（2024国家）2023年1~3月我国机器人设备累计出口金额1.9亿美元，较上年增长62.1%，累计进口金额6.9亿美元，较上年增长55.1%。

问：2023年一季度，我国机器人设备进出口贸易逆差比上年同期：
A.下降了不到30%
B.下降了30%以上
C.上升了不到30%
D.上升了30%以上

解析

根据题干“2023年一季度······进出口贸易逆差比上年同期······”，结合选项为百分数，可判定本题为一般增长率问题。
根据公式：贸易逆差=进口额-出口额，则2023年1-3月，我国机器人设备进出口贸易逆差为6.9-1.9=5亿美元；
根据公式：基期量=现期/(1+增长率)
则2022年1-3月，我国机器人设备进出口贸易逆差为[6.9/(1+55.1%)] - [1.9/(1+62.1%)]≈4.5-1.2=3.3亿美元。
根据公式：增长率=(现期量-基期量)/基期量，故贸易逆差的增长率为(5-3.3)/3.3≈50%+，即上升了30%以上。
故正确答案为D。

一、增幅、降幅、变化幅度

1、增幅（增长率/增速）：可正可负，比较时要带正负号（5% ＞ -10%）
2、降幅：增长率为负，比较时看绝对值（|-5%| ＜ |-10%|）
3、变化幅度：增长率可正可负，比较时看绝对值（|5%| ＜ |-10%|）
4、求增长率方法
1. （1）出现增速
  1. ①2024年收入10万元，同比增长10%，增速比去年提高5个百分点。则2023年的增长率为：
  2. ②2024年收入10万元，同比增长10%，增速比去年回落5个百分点。则2023年的增长率为：
  3. 分析：。①出现增速，直接使用高减低加，10%-5%=5%，所以2023年的增长率为5%。②出现增速，直接使用高减低加，10%+5%=15%，所以2023年的增长率为15%。
2. （2）出现降幅
  1. ①2024年收入10万元，同比下降10%，降幅比去年扩大5个百分点。则2023年的增长率为：
  2. ②2024年收入10万元，同比下降10%，降幅比去年收窄5个百分点。则2023年的增长率为：
  3. 分析：。①出现降幅，先不带符号用“高减低加”，10%-5%=5%，后面再添“负号”,则2023年的增长率为：-5%。②出现降幅，先不带符号用“高减低加”，10%+5%=15%，后面再添“负号”，则2023年的增长率为：-15%。

二、百分数与百分点

1、百分数：表示两个量的比例关系，用除法计算
1. 例：2022年为150，21年为100，则22年比21年增长 $\frac{150 - 100}{100}$ = 50%
2、百分点：表示百分数的变化，用加减法计算
1. 例：22年为70%，21年为20%，则22年比21年增长 70-20=50 个百分点
3、考察形式：给出一个百分数和百分点，求另一个百分数
1. 例：22年为70%，比21年提高了20个百分点，则21年为 50%
2. 例：22年为70%，比21年降低了20个百分点，则21年为 90%

三、间隔增长率

1、题型识别：（一般隔1年），求增长率。例如有三个时期2022、2023、2024，已知2023与2022相比较的增长率为 $r_{1}$ ，2024与2023比较的增长率为 $r_{2}$ 。求2024与2022相比较的增长率 $r$ ，这种题型称为间隔增长率。
： $r = r_{1} + r_{2} + r_{1} \times r_{2}$
3、公式推导：设2022年量为1，知道基期及增长率，根据现期公式（基期+(基期×增长率)）则2023量为1+(1× $r_{1}$ )=1+ $r_{1}$ ，2024年量为(1+ $r_{1}$ )+(1+ $r_{1}$ )× $r_{2}$ =1+ $r_{1}$ + $r_{2}$ + $r_{1}$ × $r_{2}$ ，则2024年与2022年比较的增长率= $\frac{现期 - 基期}{基期}$ = $\frac{1 + r 1 + r 2 + r 1 \times r 2 - 1}{1}$ = $r 1$ + $r 2$ + $r 1$ * $r 2$
4、速算技巧
1. （1）先算加法 $r_{1}$ + $r_{2}$ ，排除选项
2. （2）如果 $r_{1}$ 和 $r_{2}$ 均小于10%，可忽略乘法。示例：5%+8%+5%×8%≈？由于5%、8%均小于10%，可以忽略r1 × r2，则原式≈5%+8%=13%。
3. （3）如果 $r_{1}$ 或 $r_{2}$ 大于10%，其中一个百分化。示例：5%+36%+5%×36%≈？由于36%>10%， $r_{1}$ × $r_{2}$ 不能忽略。可以将5%化成分数为1/20，然后计算36%/20=1.8%，则原式≈41%+1.8%=42.8%。

例：（2017国家）2015年全行业全年生产手表10.7亿只，同比增长3.9%，完成产值约417亿元，同比增长4.3%，增速提高1.9个百分点；生产时钟(含钟心)5.2亿只，同比下降3.7%，完成产值162亿元，同比下降4.7%，降幅扩大1.3个百分点

问：2015年我国钟表全行业生产时钟(含钟心)的产值与2013年相比约( )
A.上升了11%
B.下降了11%
C.上升了8%
D.下降了8%

解析

本题问2015与2013年相比，中间隔一个时期。本题是间隔增长率计算问题。
根据题干2014年我国钟表全行业生产时钟(含钟心)的产值的增长率是-(4.7%-1.3%)=-3.4%，那么两期间隔增长率就是，-4.7%-3.4%+4.7%×3.4%，非常接近-8.1%，结合选项选择D选项。

四、乘积增长率

1、什么是乘积增长率：即量之间满足C＝B×A形式时，已知a%，b%，求C的增长率c%，即C的增长率称为乘积增长率。
2、公式： $r_{c}$ = $r_{a}$ ＋ $r_{b}$ ＋ $r_{a}$ × $r_{b}$ (与间隔增长率公式一样)
3、乘积增长率常用题型:
1. （1）平均数类问题，总数＝平均数×个数，求解总数的增长率时:
2. （2）比重类问题，部分量＝整体量×比重，求解部分量的增长率时；
3. （3）经济利润问题，总价＝单价×数量，求解总价的增长率时；
4、公式推导过程：例如单位面积产量(A)的增长率为a，面积(B)的增长率为b，求总产量的增长率c?
1. （1）其中：总产量=(A)单位面积产量×(B)面积
2. （2）总产量增长率公式(c)= $\frac{总产量现期 - 总产量基期}{总产量基期}$
3. （3）总产量现期=A×B，总产量基期=单位面积产量基期×面积基期= $\frac{A}{1 + a} \times \frac{B}{1 + b}$
4. （4）带入值总产量增长率公式，即： $c = \frac{A \times B - \frac{A}{1 + a} \times \frac{B}{1 + b}}{\frac{A}{1 + a} \times \frac{B}{1 + b}}$
5. （5）化简：c=A×B× $\frac{(1 + a) * (1 + b)}{A \times B}$ -1 = a＋b＋a×b

例：（2019辽宁）2019年1—8月，房地产开发企业土地购置面积12236万平方米，同比下降25.6%,每平方米土地价格同比上涨4.5%，土地成交额6374亿元。

问：2019年1—8月，房地产开发企业土地成交额与去年同期相比增长约为：
A.-17%
B.-22%
C.-27%
D.1.2%

解析

题目中有3个主体词：土地成交额、土地购置面积、土地价格，通过观察可以发现它们满足一个关系式：成交额C＝购置面积A×价格B，它们的增长率分别可以用a、b、c表示。
根据题干“2019年1-8月，······与去年同期相比增长约”，求成交额c的增长率
材料可知a、b，求c，我们可以使用乘积增长率公式：c=a＋b＋a×b，代入计算可得rA=-25.6%＋4.5%-25.6%×4.5%，（注意下降一定不要忘记带负号）大致计算-25.6%＋4.5%，可知-22%最接近，答案应选B。

五、混合增长率

定义：混合增长率的关键在于“混合”，混合即为不同事物交叉混合在一起，那么混合增长率也就是混合后所形成的整体量的增长率，如全班人=男人+女人，那么全班人就是男人和女人混合后所形成的整体量，男人和女人为两个部分量，则全班人的增长率就是整体量的增长率，也可称之为混合增长率。

1、举例：一杯100g含盐量为20%的盐水，和50g清水(含盐量为0%)，将盐水和清水倒到一个大杯子里形成混合液体，则混合液体的含盐量在0%-20%范围内，且偏向于量大的一方。及
2、题型：部分混合得到整体，求整体增长率（进出口、城镇乡村全国、男女、房地产、1~N月、季度全年半年、油料和水果、A与非A等）
3、公式： $\frac{部分基期 A}{部分基期 B} = \frac{c - b}{a - c}$ 【a，b为部分增长率，c为整体增长率】
4、做题技巧：
1. （1）混合后的放中间，混合前的放两边
2. （2）先求两者增长率平均值（ $\frac{a + b}{2}$ ），然后看谁基期量大（），混合后的增长率就往谁靠。。一般这一步可以排除2~3个选项。
3. （3）使用公式准确计算。

4、计算混合增长率的方法：
1. （1）十字交叉法

（增长率差距小时可以用现期代替基期）
1. （2）线段法

txt

     1、线段长度（增长率差值）与基期量成反比
     2、a，b为部分增长率，c为混合增长率，A，B为基期
     a       a-c           c          c-b       b 
     |                     |                    |
     --------------------------------------------
             A                      B
     公式：(c-b)/(a-c)=A/B，把已知量带入求解

（增长率差距小时可以用现期代替基期）

5、公式推导过程：
1. 定义部分和整体的基期量和对应增长率：
  部分整体
  基期增长率基期增长率
  $A_{1}$ $r_{1}$ A r
  $A_{2}$ $r_{2}$
2. 其中：部分基期之和=整体基期，部分增长量之和=整体的增长量，即有：
3. ①整体基期： $A_{1}$ + $A_{2}$ = $A$
4. ②整体增长量： $A_{1} r_{1}$ + $A_{2} r_{2}$ = $A r$
5. 将整体基期公式①代入整体增长量公式②右侧，则有： $A_{1} r_{1}$ + $A_{2} r_{2}$ = $A r$ =( $A_{1} + A_{2}$ ) $r$ = $A_{1} r$ + $A_{2} r$
6. 移向得： $A_{1} r_{1}$ - $A_{1} r$ = $A_{2} r$ - $A_{2} r_{2}$
7. 提取公因数得： $A_{1}$ ( $r_{1}$ - $r$ )= $A_{2}$ ( $r$ - $r_{2}$ )
8. 则有： $\frac{A_{1}}{A_{2}} = \frac{r - r 2}{r_{1} - r}$

部分	整体
基期	增长率	基期	增长率
$A_{1}$	$r_{1}$	A	r
$A_{2}$	$r_{2}$

例：（2019国家）2017年，A省完成邮电业务总量6065.71亿元。其中，电信业务总量3575.86亿元，同比增长75.8%;邮政业务总量2489.85亿元，增长32.0%。

问：2017年A省邮电业务总量同比增速在以下哪个范围之内?
A.低于25%
B.25%～50%之间
C.50%～75%之间
D.超过75%

解析

根据“2017年A省邮电业务总量同比增速在以下哪个范围（完成邮电业务总量=电信业务总量+邮政业务总量）”，且材料已知电信业务和邮政业务的增长率，可判断此题为混合增长率问题。
定位文字材料，“A省完成邮电业务总量6065.71亿元。其中，电信业务总量3575.86亿元，同比增长75.8%;邮政业务总量2489.85亿元，增长32.0%”。
利用混合增速性质可知，整体增速介于部分增速之间，故邮电业务总量的增速介于32%~75.8%之间，排除A。
32%和75.8%的中间值为53.9%，其次，根据混合增速的大小居中但偏向于基期量大的性质，比较电信和邮政的基期量分别为 $\frac{3575.86}{1 + 75.8 %}$ 和 $\frac{2489.85}{1 + 32 %}$ 这里要算基期，因为增长率差距太大，如果差距不大可以直接用现期值。然后直除首位分别为2和1，可知前者大于后者，所以混合增长率略大于中间值53.9%。因此，选择C选项。

六、年均增长率

定义：年均增长率是统计学中的一个概念，也被称为复合增长率。它表示在一定年限内，平均每年增长的速度。

1、题型识别：年均 + 增长 + %
： $(1 + r)^{n}$ = $\frac{现期}{基期}$ （n=年份差，r为年均增长率）
3、估算公式：年均增长率 ≤ （ $\frac{现期}{基期}$ -1）÷n，利用这个估算公式可以排除答案。
4、年份差的计算：。首为基期，尾为现期，如2016~2020年，年份差是2020-2016=4年。
1. （1），并不是4；如十三五(2016-2020年)，年份差为5，基期是2015年，现期是2020年；
  - 注意“2011年~2015年”和“十二五规划期间”这两种表述方式，虽然看似相似，但在确定年份差时却有所不同。前者年份差为4，后者为5。
2. （2）如果题目说明了这N年，则年份差为N，如2016-2020年这5年...，那么年份差为5。
3. （3）明确规定，遇到年均类问题时，基期需要往前推一年。例如，求2010年~2014年间的年均增量，年份差即为5，基期是2009年，现期是2014年。
5、速算技巧一：72/115法则，建议选项差距较大时使用。
1. （1）定义：当现期÷基期=2时，r≈72%/n；当现期÷基期=3时，r≈115%/n。（n为年份差）
2. （2）例子：比如18（1+r）⁴=37，因为37/18=2.06，非常接近2，72/4≈18，所以r=18%就可以了，大一点点也可以。这里n越大，越精确。
3. 修正表(A/B) 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9
  nr近似值 10 19 27 35 42 49 63 72 100
6、速算技巧二：二项式展开+修正
1. （1）公式： $(1 + r)^{n}$ ＝1＋ $C_{n}^{1} r$ ＋ $C_{n}^{2} r^{2}$ ＋ $C_{n}^{3} r^{3}$ ＋...＋ $r^{n}$
2. （2）计算方法：
  1. 当年均增长率小于等于5%时（通过选项判断），，则 $(1 + r)^{n} \approx 1 + n r$ ，那么r= $\frac{\frac{现期}{基期} - 1}{n}$
  2. 修正：。具体大多少？假设我们计算的年均增长率为Q，那么偏大Q²，实际结果选Q-Q²。
  3. 如果不想修正，那取前面三项，则 $(1 + r)^{n}$ ≈1＋ $C_{n}^{1} r$ ＋ $C_{n}^{2} r^{2}$ =1＋nr＋ $\frac{n (n - 1)}{2}$ r²
  4. 建议：。
  5. 例如：2007年89147，2003年49788，求2003~2007年均增长率？【A：10%；B：16%；C：25%】
  6. 分析：年份差n=4，利用r= $\frac{\frac{现期}{基期} - 1}{n}$ =（（9÷5）-1）÷4≈20%；答案选不出来，进行修正，r=20%-20%×20%=16%。选C。
7、速算技巧三：代入法。建议记忆几个常见的多次方数，代入中间值或者表格特殊值。
1. （1+r）ⁿ 2次方 3次方 4次方 5次方
  1.1 1.21 1.33 1.46 1.61
  1.15 1.32 1.52 1.75 2.01
  1.2 1.44 1.73 2.07 2.49
  1.25 1.56 1.95 2.44 3.05
  1.3 1.69 2.2 2.86 3.71
  1.35 1.82 2.46 3.32 4.48
  1.4 1.96 2.74 3.84 5.38
8、年均增长率比较：年份n相同，直接比较【 $\frac{现期}{基期}$ 】

修正表(A/B)	1.1	1.2	1.3	1.4	1.5	1.6	1.7	1.8	1.9
nr近似值	10	19	27	35	42	49	63	72	100

（1+r）ⁿ	2次方	3次方	4次方	5次方
1.1	1.21	1.33	1.46	1.61
1.15	1.32	1.52	1.75	2.01
1.2	1.44	1.73	2.07	2.49
1.25	1.56	1.95	2.44	3.05
1.3	1.69	2.2	2.86	3.71
1.35	1.82	2.46	3.32	4.48
1.4	1.96	2.74	3.84	5.38

例：（2018上海）

问：2012-2016年，我国单银幕总票房平均每年较上年增长约：
A.13%
B.28%
C.54%
D.67%

解析

由题干“平均每年较上年增长”，结合选项为百分数，可判定本题为年均增长率计算问题。
定位表格材料，2016年总票房为457.1亿元，2012年总票房为170.7亿元。
代入公式则有 $(1 + r)^{4}$ = $\frac{457.1}{170.7}$ ≈2.7。
根据选项，取中间。假设r=30%，则 $(1 + 30 %)^{4}$ =1.3×1.3×1.3×1.3=1.69×1.69=2.89>2.7，年均增长率小于30%。排除C、D。
根据AB选项，取中间。假设r=20%，则 $(1 + 20 %)^{4}$ =1.2×1.2×1.2×1.2=1.44×1.44=1.96<2.7，年均增长率大于20%。
因此可得：20% < r < 30%，结合选项只有B项满足。
可以使用速算技巧三，r=（ $\frac{457.1}{170.7}$ -1）÷4≈42%，修正：r=42%-42%×42%=42%-17%=25%，与B选项接近。

七、平均数增长率

1、平均数增长率：平均数的增长率，要同时体现平均数、增长率两层含义。比如2021年人均收入比去年增加了百分之多少或2021年人均收入是去年的多少倍，这就是要求平均增长率。
2、题型识别：平均数+增长了...
： $\frac{a - b}{1 + b}$ ，其中a表示平均数中分子的增长率，b表示平均数中分母的增长率。‌
4、公式推导过程：
1. 现期的平均数为 $\frac{个数}{总数}$ ，我们用 $\frac{A}{B}$ 表示，A的增长率为a，B的增长率为b
2. 则基期的平均数为 $\frac{A}{B}$ × $\frac{1 + b}{1 + a}$
3. 带入增长率公式 $\frac{现期平均数}{基期平均数}$ -1，即[ $\frac{A}{B}$ ÷( $\frac{A}{B} \times \frac{1 + b}{1 + a}$ )]-1
4. 化简可得增长率： $\frac{1 + a}{1 + b}$ -1 = $\frac{a - b}{1 + b}$
5. 如果求“现期平均数是基期平均数的多少倍”，= $\frac{a - b}{1 + b}$ ＋1。
5、计算：
1. （1）
  1. ①当a-b>0，现期的平均数是同比上升的
  2. ②当a-b<0，现期的平均数是同比下降的
2. （2）
  1. ①当b>0，分母（1+b）>1，结果的绝对值<|a-b|
  2. ②当b<0，分母（1+b）<1，结果的绝对值>|a-b|
6、拓展：该公式可以用于求 $\frac{A}{B}$ 公式类型的增长率，虽然叫“平均”，公式的使用并不限制“平均”的题型，比如求比重的增长率也可以用这个公式，因为比重= $\frac{部分}{整体}$ 。

例：2016年全国餐饮收入35799亿元，同比增长10.8%，餐饮收入占社会消费品零售总额的比重为10.8%。2016年全社会餐饮业经营单位为365.5万个，同比下降8.2%；从业人数为1846.0万人，同比增长5.7%。

问：2016年全社会餐饮业平均每个经营单位的从业人数比上年约：（）
A.减少了2%
B.减少了15%
C.增加了2%
D.增加了15%

解析

问题存在“平均每个”和“比上年”，推断为平均增长率题型。
2016年全社会餐饮业经营单位为365.5万个，同比下降8.2%，从业人员为1846.0万人，同比增长5.7%。根据平均数增长率=(a%-b%)/(1+b%)，故平均数增长率为(5.7%+8.2%)/(1-8.2%)=13.9%/(1-8.2%)＞13.9%，仅D符合。

增长率专题：（ 增长率可以简写成 r ） ​

一、增幅、降幅、变化幅度 ​

二、百分数与百分点 ​

三、间隔增长率 ​

四、乘积增长率 ​

五、混合增长率 ​

六、年均增长率 ​

七、平均数增长率 ​