属性规律

一、对称性

对称的类型

1. (1）轴对称图形：一个图形如果沿一条直线对折后，两边部分能够完全重合，那该图形是轴对称图形，一个对称图形可能有 1 条或多条对称轴，如 A、B、C、Y、△、☾等。
2. (2）中心对称图形：一个图形如果正着看和倒着看（即旋转 180°）一模一样，那么该图形是中心对称图形，如S、Z、N、平行四边形等。
3. (3）既轴对称又中心对称图形：形象地说，就是以上两者特征的综合体，既能沿直线对折后重合，又能正看与倒看完全一样，如H、O、○等。

对称轴的方向和数量

1. 当题干图形和两个以上选项的图形都是轴对称图形时，很有可能通过对称轴的方向和数量来命题，因此，解题时也要注意这两点。
2. (1)对称轴的方向可分为：横轴对称、竖轴对称、斜轴对称。
3. (2)对称轴的数量呈等差数列
4. (3)对称轴都相等，可以判断对称轴偏转度数呈等差数列。

对称轴的扩展规律

1. 对称轴和点的关系：过点的数量
2. 对称轴与线的关系：重合、垂直、平行、过线的数量
3. 对称轴与面的关系：对称轴穿过的面数量、轴两侧的形状
4. 内外图形对称轴：内外分开看，内部轴对称、外部中心对称
5. 多部分对称轴关系：平行、垂直、相交

例：(2022年北京)每道题包含两套图形和可供选择的4个图形。这两套图形具有某种相似性，也存在某种差异。要求你从四个选项中选择最适合取代问号的一个。正确的答案应不仅使两套图形表现出最大的相似性，而且使第二套图形也表现出自己的特征。

【分析：】元素组成不同，优先考虑属性规律。观察发现，第一套三个图形分别是中心对称图形、轴对称图形、轴对称+中心对称图形。第二套图形应遵循此规律，分别是中心对称图形、轴对称图形，故？处应选择轴对称+中心对称图形，只有A项符合。

例：(2022江苏)请从所给的四个选项中，选出最恰当的一项填入问号处，使之呈现一定的规律性。

【分析：】元素组成不同，优先考虑属性规律。观察发现，题干图形出现箭头、等腰元素图形，考虑对称性。题干每幅图都由两个单对称轴图形组成，因此分别画出每个图形的对称轴，发现每幅图的两条对称轴之间都是垂直关系，只有A项符合。

二、曲直性

曲直性的识别

1. 全曲线：图形里面全部是曲线。
2. 全直线：图形里面全部是直线。
3. 半曲半直：图形里面同时有直线和曲线。

数曲线/直线

1. 1.如果图形出现的单一直线、多边形较多，可以优先考虑数直线的数量；
2. 2.如果图形出现的单一圆、弧或者全曲线图形较多，可以优先考虑数曲线的数量；
3. 3.如果图形出现的单一直线、多边形和单一圆、弧或者全曲线，注意考察线条数；

例：(2019江苏)从四个图中选出唯一的一项，填入问号处，使其呈现一定的规律性:

【分析：】首先观察题干所有图形，发现都有一个圆形外框，所以问号处也应该是圆形外框，排除BC；进一步观察题干，发现图2圆内部就是一条单一的直线，图3的圆内部也有单一直线，图4和图5，图形内部都是多边形，所以优先考虑数直线数量，图1到图5，圆形内部的直线数量分别为01234，所以问号处应该是圆形框内部有5条直线的图形，排除A，选D。

曲直交点

1. 当题干当中的每幅图形都既有直线，又有曲线，并且存在明显的曲直相交叉，可以考虑数一下曲直交点，也就是曲线和直线之间的交点的数量。

例：(2018北京)从四个图中选出唯一的一项，填入问号处，使其呈现一定的规律性:

【分析：】这道题有的同学可能先去想到对称性，但是第二组图形中的两个图都不对称，所以对称性没有规律；接下来我们发现，右边这组图形中的图1，就是很简单的1条直线和两条曲线相交叉，很明显在制造“曲直交点”，再观察其余图形，每幅图形中都有明显的曲线和直线，并且相交叉，所以优先考虑数曲直交点。左边这组图中，曲直交点数分别为2、3、4，右边这组途中，曲直交点数分别为2、3，所以问号处应该是曲直交点数为4。A选项曲直交点为6个，B选项为5个，C选项为4个，D选项为5个，所以答案选C。

复合考法

1. 题干中有单一直线、单一曲线，也有曲直相交叉，也就是说，数直线数量、曲线数量、曲直交点的特征都有，那么很可能它就是把这几种规律进行复合考查，我们就把每种规律都数一下（比如求和、作差），如果单纯看某一种规律没有答案，就考虑讲多种规律复合来看。

例：(2020国考) 从所给的四个选项中，选择最合适的一个填入问号处，使之呈现一定的规律性：

【分析：】题干和选项，每幅图形都有单一的直线，曲线，也都有明显的曲线和直线相交叉，所以同时具有数直线数量、曲线数量和曲直交点的特征。我们可以分别将这几种规律数一下。首先数直线，图1到图5的直线数量分别为：4、3、7、7、6，没有规律；数曲线数量，分别为：2、3、1、2、4，也没有规律；讲直线数和曲线数进行简单的运算，也没有规律；接着考虑数曲直交点，分别为：4、6、2、4、8；这时候我们会发现，每幅图形的曲直交点数量都是曲线数量的2倍，所以问号处也应符合此规律。只有D选项满足，所以答案选D。

三、开闭性

1. 题型特征：图形元素组成不同
2. 解题思路：当图形元素组成不同时，常考查属性、数量及其他特殊规律。而属性规律的呈现方式更直观，特征辨别更容易，可优先考虑属性规律。常考的属性规律有三种:对称性、曲直性、开闭性。
3. 开闭性：开闭性单独考查频率较低，与对称性、曲直性结合的考法比较常见。
   1. 1.开放图形：图形不包含任何封闭空间，即没有“窟窿”，如字母 C。
   2. 2.封闭图形：图形包含封闭空间，即有“窟窿”，如字母 D。
   3. 3.半开半闭图形：图形既包含封闭空间又包含开放区域，如字母A

例： （2019联考）请从所给四个选项中，选择最合适的一个填入问号处，使之呈现一定的规律性（ ）。 A.①③⑥，②④⑤  B.①③⑤，②④⑥
C.①④⑥，②③⑤  D.①②④，③⑤⑥
【分析：】对称、曲直均无明显规律，考虑开闭性。图①④⑥均为半开半封闭图形；图②③⑤均为全封闭图形。因此①④⑥一组，②③⑤一组。故正确答案为C。

四、随笔练习

1. 例1：(2018浙江选调)请从所给的四个选项中，选择最合适的一个填入问号处，使之呈现一定的规律性。

※解析：元素组成不同，优先考虑属性规律。题干图形对称性明显，九宫格第一行图形对称轴都为0条、第二行图形对称轴都为1条、第三行前两幅图形对称轴都为2条，因此？处也应填入对称轴为2条的图形，只有A项符合。故正确答案为A。

1. 例2：（2014上海）下列选项中，符合所给图形的变化规律的是：

※解析：各图形构成不同，且均有里外两个元素构成。分别观察，均为轴对称图形。考虑对称轴的数量或位置规律。外面图形的对称轴数量分别为：4、2、2；里面图形的对称轴数量分别为：3、1、1。每幅图里外图形对称轴数量差均为1。故正确答案为C。

1. 例3：从所给的四个选项中，选择最合适的一个填入问号处，使之符合已呈现的规律性：
2. 

※解析：题干为九宫格图形，考虑从横行或竖列找到规律。观察发现，九宫格第一列图形均由曲线构成，第二列图形均由直线构成，第三列图形均由曲线和直线两种元素构成，满足条件的只有D项。故正确答案为D。

1. 例4：（2017联考）把下面的六个图形分为两类，使每一类图形都有各自的共同特征或规律，分类正确的一项是：
3. A.①②④，③⑤⑥
4. B.①②⑤，③④⑥
5. C.①③⑥，②④⑤
6. D.①⑤⑥，②③④

※解析：图形元素组成不同，属性无明显规律，考虑数量规律。整体观察图形，①②⑤均有3条曲线，③④⑥均有1条曲线。故正确答案为B。

1. 例5：（2019河南司法）从所给的四个选项中，选择最合适的一个填入问号处，使之呈现一定的规律性：

※解析：元素组成不同，且无明显属性规律，考虑数量规律。题干图形出现明显的多边形以及单一曲线，考虑数线条数。九宫格优先横着观察，三行图形依次由1，2，3，4，5，6，7，8，“？”条线组成。故“？”处应该选择由9条线组成的图形，对应B选项。

1. 例6：（2018北京）从四个图中选出唯一的一项，填入问号处，使其呈现一定的规律性:
2. 

※解析：这道题可能先去想到对称性，但是第二组图形中的两个图都不对称，所以对称性没有规律；接下来我们发现，右边这组图形中的图1，就是很简单的1条直线和两条曲线相交叉，很明显在制造“曲直交点”，再观察其余图形，每幅图形中都有明显的曲线和直线，并且相交叉，所以优先考虑数曲直交点。左边这组图中，曲直交点数分别为2、3、4，右边这组途中，曲直交点数分别为2、3，所以问号处应该是曲直交点数为4。A选项曲直交点为6个，B选项为5个，C选项为4个，D选项为5个，所以答案选C。

1. 例7：（2024河北事业单位）把下面的六个图形分为两类，使每一类图形都有各自的共同特征或规律，分类正确的一项是：

※解析：元素组成不相同，优先考虑属性规律。观察发现，题干图形出现粗线条图形并且存在单一封闭区域，考虑开闭性。图一为封闭图形，图二为半开半闭图形，图三为封闭图形，图四为半开半闭图形，图五为封闭图形，故？处应选择半开半闭的图形，只有D项符合。

1. 例8：（2019国考）从所给的四个选项中，选择最合适的一个填入问号处，使之呈现一定的规律性：

※解析：元素组成不同，优先考虑属性规律。观察发现，题干图形均为轴对称图形，并且对称轴方向每次顺时针旋转，排除A项和C项。进一步观察发现，题干中图1、图3和图5的对称轴都与图形中的一条线重合，而图2和图4的对称轴没有与图形中的一条线重合，故“？”处应选择一个图形的对称轴不与图形中某一条线重合的，只有B项符合。 故正确答案为B。

1. 例9：（2018江苏）从四个图中选出唯一的一项，填入问号处，使其呈现出一定的规律性。

※解析：元素组成不相同且属性无明显规律，考虑数量规律。观察图形发现，题干展开图中出现多边形和单一直线，考虑数直线数。整体数直线无规律，考虑内外分开数。每幅图外部直线数分别为：6、5、4、4、5，内部直线数分别为：5、4、3、3、4，发现每幅图外部直线数-内部直线数=1，故？处也应该选择一个符合此规律的图形，只有A选项符合。