极限思想

一、题干特征

  题干或问法中出现“至多”、“至少”、“最多”、“最少”、“最大”、“最小”等字眼时

二、最不利原则

1. 题型特征：至少……才能，保证(一定)……
2. “保证”与“可能”的区别
   1. “可能”：考虑最好的情况。
   2. “保证”：考虑最不利的情况。
   3. 有利原则：针对班上的学生进行点名，至少点几个人的姓名，点到同一性别的学生?利用最有利原则，就是考虑最好的情况，第一个点到男生，第二个也正好点到男 生(或第一个点到女生，第二个也正好点到女生)，此时就也达到题目的要求，所以至少点2个人的姓名，就可能点到同一性别的学生。
   4. 不利原则：针对班上的学生进行点名，至少点几个人的姓名，才能点到同一性别的学生?利用最不利原则，就是考虑与成功一线之差的情况，即第一个点到男生，第 二个点到女生(或第一个点到女生，第二个点到男生)，那么，第三个无论是点到男生还是女生，都能保证有同一性别的学生，所以至少点到3个人的姓名，才能保证点到同一性别的学生。
3. 解题原则：最不利原则
   1. 最不利原则其实就是想象最糟糕的情况，看看会发生什么。先考虑最坏的情况（条件的对立面），然后在这个情况上加 1，则为刚好满足条件的情况。
   2. 比如：一份卷子满分100分，60分为及格，小明至少需要考多少分才能及格？（分数均为整数）
   3. 在这个例子里面，最坏的情况是小明考了59分，则至少需要59+1=60分才能及格。
4. 解题方法：
   1. 例：袋子有3种颜色的筷子各10根，至少取多少根才能保证3种颜色的筷子都取?
   2. 分析：与成功一线之差的情况就是两种颜色的筷子都取完了，即20根，还没取到第三种颜色的筷子，这时只要再取一根就能凑足3种颜色，所以至少取20+1=21根筷子。

三、随笔练习

1. 例1：若干本书要发给50名，至少需要多少本书才能保证有能拿到4本书?
2. A.4
3. B.5
4. C.151
5. D.200

：根据问法“至少需要多少本书才能保证有同学能拿到4本书”可以判断此题可用。首先找到，则最差量为50×3=150本，故成功的最小量=150+1=151本，因此选择C选项。

1. 例2：在一个不透明的布袋里有若干条四种不同颜色的围巾，其中白色 3 条，红色 5 条，蓝色 8 条，彩色 4 条。如果每次取出一条，至少要取（ ）次才能保证取得白色围巾。
2. A.20
3. B.18
4. C.16
5. D.13

：由题干的问法可知，本题需要考虑，最不利情况为所有其他颜色都取完了，剩下的全为白色的，再取一次即可，故所求为 5+8+4+1=18 次。本题选择 B 选项。

1. 例3：(2016山东) 某个社区老年协会的会员都在象棋、围棋、太极拳、交谊舞和乐器五个兴趣班中报名了至少一项。如果要在老年协会中随机抽取会员进行调查，至少要调查多少个样本才能保证样本中有 4 名会员报的兴趣班完全相同？（ ）
2. A.93
3. B.94
4. C.96
5. D.97

：题目中出现“”，构造最不利情况。老年协会的会员在五个兴趣班中报名至少一项，则报名不同的情况数为 $C_5^1$ + $C_5^2$ + $C_5^3$ + $C_5^4$ + $C_5^5$ =5+10+10+5+1=31。考虑最不利原则，有 4 名会员报兴趣班相同，最不利值为 3，则至少要调查 31×3+1=94 人才能保证有 4 名会员报的兴趣班完全相同。故正确答案为 B。

1. 例4：(2022国考)不透明的鱼缸中红、黄、蓝、白四种颜色的孔雀鱼分别有21条、25条、18条、16条，至少捞出多少条鱼，才能保证捞出的鱼中蓝色和黄色各5条？
2. A.67   B.60   C.21   D.17

：根据题干问法“至少······才能保证······”，可判定本题为最值问题中的最不利构造问题。考虑最不利情况：先捞出所有的红鱼和白鱼；又因为黄鱼25条蓝鱼18条，故需先将黄鱼全都捞出来，而蓝鱼只捞出4条，为最不利情况。因此，要保证捞出的蓝鱼和黄鱼各5条，则至少要捞21+16+25+4+1=67条。