方阵问题

一、含义

  将若干人或物依一定条件排成正方形（简称方阵）。
  根据已知条件求总人数或总物数，这类问题就叫做方阵问题。

二、实心方阵

当方阵最外层一边人数为n时，满足:

1. 1、
2. 2、
3. 3、：当n为偶数时，层数=$\frac{n}{2}$；当n为奇数时，层数=$\frac{n+1}{2}$
4. 4、相邻两层每边相差2。相邻两层总数相差8（特殊情况：当最内层总数为1时，次内层总数为8，此时最里面两层总数相差7）

三、空心方阵

空心方阵可以理解为一个大的实心方阵中间去掉一个小的实心方阵，公式与实心方阵差不多

1. 1、
2. 2、
3. 3、相邻两层每边相差2。相邻两层总数相差8；

⚡拓展

在最外层一边人数为N时的方阵中，，相当于去掉最外圈；
结论：。增加m行、n列人数也是增加这么多。

四、长方阵

1. 1、长方阵总人数=长方形面积=a×b
2. 2、最外层人数=2（a+b）-4
3. 3、相邻两层边相差2，相邻两层人数相差8

五、随笔练习

例1：（2021安徽合肥事业单位）将某年级若干名学生排成一个方阵学习太极拳，已知方阵由外到内第三层有76人，则该方阵共有学生（ ）人。

1. A.625
2. B.841
3. C.1024
4. D.1369

解析

5. 根据方阵公式：，可知由外到内第三层每边的学生数=（76÷4）+1=20人，相邻两层每边数相差2，因此最外层的每边的学生数=20+2+2=24，所以该方阵共有学生24×24=576，故正确答案为C。

例2：（2018新疆）某部队的全体官兵刚好排成一个方阵，最外层人数是128人，则该部队共有多少名官兵？

1. A.529
2. B.783
3. C.1089
4. D.1122

解析

5. 根据方阵公式 某层总数=（该层每边个数 - 1）×4，根据题意最外层人数是128人，即128=（方阵最外层每边人数-1）×4，方阵最外层每边人数=（128÷4）+1=33人，则33排33列的方阵总人数=33×33=1089人。故正确答案为C。

例3：（2019河北事业单位）用64盆花围成每边两层的空心方阵，若在外再增加一层成为三层空心方阵，需增加多少盆花？

1. A.44
2. B.48
3. C.52
4. D.60

解析

5. 根据方阵的性质，相邻两层花盆的数量差为8，则原空心方阵最里边层花盆数量为 （64-8）÷2=28，最外层为28+8=36。现在再增加一层成为三层空心方阵，则需要36+8=44盆，故正确答案为A。

例4：（2019深圳）某次运动会需组织长宽相等的方阵。组织方安排了一个鲜花方阵和一个彩旗方阵，两个方阵分别入场完毕后又合成了一个方阵，鲜花方阵的人恰好组成了新方阵的最外围。已知彩旗方阵比鲜花方阵多28人，则新方阵的总人数为( )

1. A.100
2. B.144
3. C.196
4. D.256

解析

5. 已知为长宽相等的方阵问题。设，根据某层总数=（该层每边个数-1）×4公式，则鲜花方阵的总数为(n-1)×4=4n-4。又因为，合成后的彩旗方阵每边数为n-2。则彩旗方阵总数为(n-2)²=n²-4n+4。已知彩旗方阵比鲜花方阵多28人，n²-4n+4-(4n-4)=28，解得n=10。故新方阵的总数=10²=100。选A。

例5：（2015江苏）参加某运动会的全体运动员在开幕式上恰好排成一个正方形，有两行两列的运动员离场后，运动员人数减少64人，则参加该运动会的运动员人数为（ ）。

1. A.225
2. B.256
3. C.289
4. D.324

解析

5. 设最外行站x个人。根据去掉m行、n列的方阵，则人数减少=N×(m+n)-mn结论可得，64=x（2+2）-2+2=4x-4，解的x=17。参加该运动会的运动员人数为17×17=289人。故正确答案为C。

例6：（2012广东36%）有绿、白两种颜色且尺寸相同的正方形瓷砖共400块，将这些瓷砖铺在一块正方形的地面上：最外面的一周用绿色瓷砖铺，从外往里数的第二周用白色瓷砖铺，第三周用绿色瓷砖，第四周用白色瓷砖……这样依次交替铺下去，恰好将所有瓷砖用完。这块正方形地面上的绿色瓷砖共有多少块：

1. A.180
2. B.196
3. C.210
4. D.220

解析

5. 由瓷砖总数为400块可知，该正方形边长为20块瓷砖，最外层一圈为20×4-4＝76块瓷砖，根据相邻两层差8块瓷砖可知两层绿色瓷砖之间差16块瓷砖，故绿色瓷砖的数量依次为：60，44，28，12。总数为76＋60＋44＋28＋12＝44×5＝220块。故正确答案为D。