特殊数列

1. 特殊数列是考查频率较低。偶尔会出现，考查形式多变，规律灵活，难以归类。，我们可对此类题型重点掌握。

一、机械拆分

1. 1、题型特征：数列比较奇怪，比如有小数点、根号、位数多、首项数字大等等，且一般作和、作差都无明显规律。
2. 2、解题技巧：

   1. （1）位数较多：；比如对于数字1234，可以将其看作1＋2＋3＋4=10，然后寻找规律。

      1. 扩展：
         一般对数字拆分考虑内部加和再与外部联系寻找规律。以下介绍数字拆分的其他形式，这部分较难。
         ①组合拆分：组合拆分是指把数列中的每一个数字都拆分成两个数字的和，然后形成新的数列。比如345拆分成340＋5。
         ②中间拆分：中间拆分是指把数列中的每一个数字从中间拆分成两个或多个数字，然后分别形成新的数列。比如1326拆分成13|26。
         ③交叉拆分：是指把数列中的每一项的百位和个位，千位和十位分别拆分成两个数字，然后分别形成新的数列。比如4769拆分成6-4=9-7。

   2. （2）特殊符号：小数数列（12.34），带根号数列（2$\sqrt{2}$），带加号数列（7＋$\sqrt{5}$）等，以符号为分界线进行拆分，再寻找规律。

二、因数分解

1. 1、题型特征：每一个数都有因数，找不到别的规律再考虑此规律。
2. 2、解题技巧：把数列中的每一个数字拆分成两个数字的乘积的形式，然后分别形成数列。

三、随笔练习

例1：(2017广东) 325、118、721、604、()

1. A.911
2. B.541
3. C.431
4. D.242

解析

5. 题目无明显特征，且变化趋势忽快忽慢，作和、作差都无明显规律，为非特征数列。
6. 每一项都是三位数，位数较多，考虑拆分之后再看规律，拆分之后考虑各位数字加和。
7. 将每一项拆分之后的各位数字相加求和：3＋2＋5=10，1＋1＋8=10，7＋2＋1= 10，6＋0＋4=10。
8. 。
9. 结合选项，只有B项符合。故正确答案为B。

例2：(2020广东选调) 521、232、172、422、()

1. A.158
2. B.233
3. C.397
4. D.406

解析

5. 题干数列无明显特征，且变化趋势忽快忽慢，作和、作差都无明显规律，为非特征数列。
6. 每一项都是三位数，位数较多，考虑拆分之后再看规律，拆分之后考虑各位数字加和，加和无规律，考虑乘积。
7. 观察数列发现：5×2×1=10，2×3×2=12，1×7×2=14，4×2×2=16。
8. 。
9. 则该新数列的下一项为16＋2=18。
10. 结合选项，只有B项2×3×3=18符合。
11. 故正确答案为B。

例3：(2022广东) 12，25，310，417，（ ）

1. A.521
2. B.526
3. C.632
4. D.647

解析

5. 数列变化幅度较大，且均为多位数，考虑拆分。
6. 提取数列中的首位数字为：1、2、3、4，则所求项的首位数字应为5；
7. 剩余数字为：2、5、10、17，是相差3、5、7的多级数列，则下一项应为17＋（7＋2）=26。
8. 因此，所求项为526。
9. 故正确答案为B。

例4：(2020江苏) $2$、2＋$\sqrt{2}$、4＋$\sqrt{3}$、10、16＋$\sqrt{5}$、()

1. A.18＋$\sqrt{6}$
2. B.16＋2$\sqrt{2}$
3. C.32＋$\sqrt{6}$
4. D.28

解析

5. 观察数列特征，有特殊符号“＋”，一般以“＋”为分界线进行拆分。
6. 原数列已知项可转化为1＋$\sqrt{1}$、2＋$\sqrt{2}$、4＋$\sqrt{3}$、8＋$\sqrt{4}$、16＋$\sqrt{5}$。
7. “＋”前的部分分别为1、2、4、8、16，此数列是公比为2的等比数列，其下一项为16×2=32；
8. “＋”后的部分分别为$\sqrt{1}$、$\sqrt{2}$、$\sqrt{3}$、$\sqrt{4}$、$\sqrt{5}$，根号下的数字构成公差为1的等差数列，其下一项为5＋1=6。
9. 故所求项为32＋$\sqrt{6}$。
10. 故正确答案为C。

例5：(2017吉林) 123456、61234、4612、( )、62、2

1. A.326
2. B.261
3. C.246
4. D.512

解析

5. 题干数列无明显特征，且前三项数字较大，不考虑作和、作差，为非特征数列，考虑拆分。
6. 先观察数列前两项：有重复的1234出现，6从第一项的个位变为第二项的最高位，第一项倒数第二位的5没有出现在第二项中。
7. 故可猜测规律为。
8. 用剩余项验证，此规律成立。故所求项应为246。故正确答案为C。

例6：(2020江苏) 7.003、13.009、19.027、25.081、31.243、（）

1. A.36.568
2. B.36.729
3. C.37.568
4. D.37.729

解析

5. 观察数列，发现数列中每个数字均为小数，考虑将每个数字划分为整数部分与小数部分，分别观察整数部分形成的数列和小数部分形成的数列，找出各自的规律。
6. 整数部分数列：7、13、19、25、31、（），此数列是公差为6的等差数列，下一项应为31＋6=37。
7. 小数部分数列：003、009、027、081、243、（），此数列是公比为3的等比数列，下一项应为243×3=729。
8. 则题干所求项为37.729。
9. 故正确答案为D。

例7：(2010湖北30%) 123，139，177，261，463，（ ）

1. A.627
2. B.721
3. C.833
4. D.999

解析

5. 观察数列无明显规律，且尝试多级数列、递推数列、幂次数列均无明显规律，故考拆分。
6. 数列每项数字拆分成两个数相加的形式。原数列可转化为：120＋3，130＋9，150＋27，180＋81，220＋243，（ ）。＋号前后的数字分别形成两个新数列：
7. 数列①：120，130，150，180，220，后项减前项为10，20，30，40，（ ），是公差为10的等差数列，故数列①的下一项为220+（40+10）=270。
8. 数列②：3，9，27，81，243，是公比为3的等比数列，故数列②的下一项为243×3=729。
9. 故所求项为729＋270=999。
10. 故正确答案为D。

例8：(2014河北42%) 44， 52， 68， 76，92，（）

1. A.104
2. B.116
3. C.124
4. D.128

解析

5. 数列递增且变化幅度平缓，考虑作差。
6. 后一项减去前一项得：8、16、8、16，呈周期变化，因此推测下一项为8，故所求项=92+8=100。但是并没有答案与之对应，因此考虑其他规律。
7. 每项均包含4因子，考虑因数分解。题干数列可分解成：4×11、4×13、4×17、4×19、4×23。列式左边项均为4，右边项为连续质数列，下一项为29，故题干所求项应为：4×29=116。
8. 故正确答案为B。

例9：(2018天津选调) 0、0、2、12、（ ）

1. A.8
2. B.36
3. C.12
4. D.32

解析

5. 数列变化幅度不大且大部分呈递增趋势，优先考虑作差，无规律，则考虑因式分解。
6. 大数开始进行因式分解尝试：12=4×3，2=1×2，0=0×0，无规律，但是出现4、2、1、0这些数跟幂次相关。
7. 重新尝试分解：12=$2^2$×3，2=$1^2$×2，0=$0^2$×1，0=$(-1{)}^2$×0。
8. 分解后的数列左子列为$(-1{)}^2$、$0^2$、$1^2$、$2^2$，该数列是平方数列，底数是公差为1的等差数列；
9. 右子列为0，1，2，3，是公差为1的等差数列。
10. 故所求项的左子列=$(2+1{)}^2$=9，右子列=3+1=4，即所求项=9×4=36。
11. 故正确答案为B。