倍数特性

一、整除型

1. 定义：将除数a分解成两个互质的整数b和c，若同时被b和c整除，则可以被a整除
2. 整除的传递性：被b整除，b 被c整除，则a被c整除。
3. 整除的可加减性：α被c整除,b 被c整除，则 a±b 都可以被c整除

口诀法

  能被2整除：若一个整数的是0、2、4、6或8，则这个数能被2整除。例：122
  能被3整除：若一个整数的数字能被3整除，则这个整数能被3整除。例：123，1+2+3=6，6能被3整除，则123能被3整除
  能被4整除：若一个整数的能被4整除，则这个数能被4整除。例：124，24能被4整除，则124能被4整除
  能被5整除：若一个整数的是0或5，则这个数能被5整除。例：155
  能被6整除：若，则这个数能被6整除。例：126
  能被8整除：若一个整数的能被8整除，则这个数能被8整除。例：1112，112能被8整除，则1112能被8整除
  能被9整除：若一个整数的数字能被9整除，则这个整数能被9整除。例：927，9+2+7=18，18能被9整除，则927能被9整除
  能被10整除：若一个整数的是0，则这个数能被10整除项。例：1000

拆分法（常用3、7、11）

  定义：一个数 = 接近且明显能被整除的数 ± 零头，然后只看零头
  例子：623 ÷ 7 把 623 拆成 7 的倍数 ± 零头（630-7），只看零头能否被 7 整除

二、余数型

  定义：

三、比例型

  若$\frac{a}{b}=\frac{m}{n}$（m、n 互质），则 a 是 m 的倍数，b 是 n 的倍数；
  若$a=\frac{m}{n}b$（m、n 互质），则 a 是 m 的倍数，b 是 n 的倍数；
  若$a=\frac{m}{n}b$（m、n 互质），则$a=\frac{m}{m+n}(a+b)$

比例型适用于：

四、随笔练习

1. 例1：(2017河南)如下图，一个正方体的表面上分别写着连续的 6 个整数，且每个相对面上的两个数的和都相等，则这 6 个整数的和为（ ）。
2. 
3. A.53
4. B.52
5. C.51
6. D.50

：相对面数字和相等，，设其为 n，则总和为 3n，即为 3 的倍数；或者 6 个连续的整数之和为 3 的倍数。只有 C 符合。

1. 例2：(2014广东)在某公司年终晚会上，所有员工分组表演节目。如果按 7 男 5 女搭配分组，则只剩下 8 名男员工；如果按 9 男 5 女搭配分组，则只剩下 40 名女员工。该公司员工总数为（ ）名。
2. A.446
3. B.488
4. C.508
5. D.576

：假设两次分组的组数分别为 X 和 Y，总人数为 T 则：T=12X+8，T=14Y+40，虽然，不过根据，我们只要求的总人数，T-8 后是 12 的倍数，T-40 后是 14 的倍数，只有 B 选项满足条件

1. 例3：(2016北京)某单位原拥有中级及以上职称的职工占职工总数 62.5%。现又有 2 名职工评上中级职称，之后该单位拥有中级及以上职称的人数占总人数$\frac{7}{11}$。则该单位原来有多少名职称在中级以下的职工？（ ）
2. A.68
3. B.66
4. C.64
5. D.60

：正面计算比较繁琐。，中级及以上开始时是 62.5% 即$\frac{5}{8}$，则中级以下占$\frac{3}{8}$，所以中级以下的人数为 3 的倍数。观察选项排除 A、C。当 2 人被评上中级职称后，中级以下占$\frac{4}{11}$，原来中级以下人数减 2 为 4 的倍数。故选 B 项。

1. 例4：(2024青海)大学生创业主要集中在高科技、智力服务、连锁加盟和自媒体运营四个领域。某学院今年选择创业的大学毕业生不到50人，其中选择智力服务领域、连锁加盟领域和自媒体运营领域的分别占$\frac{1}{7}$，$\frac{1}{2}$和，$\frac{1}{3}$。那么该学院今年选择高科技领域创业的大学毕业生有多少人?
2. A.1
3. B.3
4. C.5
5. D.7

：根据其中选择智力服务领域、连锁加盟领域和自媒体运营领域的占比可知，总人数是7、2、3的倍数，又因7、2、3互质，所以总人数为7×2×3=42的倍数。由于选择创业的大学毕业生不到50人，则总人数为42人。因此选择智力服务领域、连锁加盟领域和自媒体运营领域的人数分别为：42×$\frac{1}{7}$=6人，42×$\frac{1}{2}$=21人，42×$\frac{1}{3}$=14人，则选择高科技领域创业的大学毕业生有42-6-21-14=1人。故正确答案为A。