倍数特性

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1. 题干特征：分数、比例、百分数、倍数

一、整除型

1. 定义：若a=b×c（bc均为整数），则A既能被B整除，又能被C整除。

   1. 常见形式：路程=速度×时间、工作总量=工作效率×时间、总价=单价×数量

2. 整除判定法则：将除数a分解成两个互质的整数b和c，若同时被b和c整除，那么这个数可以被a整除

1. 判断X÷18，如果X÷9且X÷2可以整除，那么X÷18也可以整除。

2. 整除的传递性：a被b整除，b 被c整除，则a被c整除。

3. 整除的可加减性：α被c整除，b 被c整除，则 a ± b 都可以被c整除

口诀法

1. 能被2整除：若一个整数的是0、2、4、6或8，则这个数能被2整除。例：122

2. 能被3整除：若一个整数的所有位数能被3整除，则这个整数能被3整除。例：123，1+2+3=6，6能被3整除，则123能被3整除

3. 能被4整除：若一个整数的能被4整除，则这个数能被4整除。例：124，24能被4整除，则124能被4整除

4. 能被5整除：若一个整数的是0或5，则这个数能被5整除。例：155

5. 能被6整除：若，则这个数能被6整除。例：126

6. 能被8整除：若一个整数的能被8整除，则这个数能被8整除。例：1112，112能被8整除，则1112能被8整除

7. 能被9整除：若一个整数的数字能被9整除，则这个整数能被9整除。例：927，9+2+7=18，18能被9整除，则927能被9整除

8. 能被10整除：若一个整数的是0，则这个数能被10整除项。例：1000

拆分法（常用3、7、11）

1. 定义：一个数 = 接近且明显能被整除的数 ± 零头，然后只看零头
   1. 例子：623 ÷ 7 把 623 拆成 7 的倍数 ± 零头（630-7），只看零头能否被 7 整除
      

二、余数型

1. 若总数 = ax + b ，则（总数 - b）能被 a 整除，（a，x均为整数）

   1. 例1：一堆苹果分给一些人，平均每人分3个…，问这堆苹果有多少个？
   2. 例2：一堆苹果分给一些人，平均每人分10个，还剩3个…，问这堆苹果有多少个？
   3. 例3：一堆苹果分给一些人，平均每人分10个，还缺3个……，问这堆苹果有多少个？

三、比例型

1. 1、若$\frac{a}{b}=\frac{m}{n}$（m、n 互质）
   1. （1）a 是 m 的倍数
   2. （2）b 是 n 的倍数
   3. （3）a+b 是 m+n 的倍数
   4. （4）a-b 是 m-n 的倍数
2. 2、碰到比例要将式子转化成A/B=m/n，而不是A=（m/n）×B或m=（A/B）×n

   1. 比如：已知某班：男/女=7/3
      ①男生人数是7的倍数
      ②女生人数是3的倍数
      ③全班人数（男+女）是10的倍数
      ④男女生人数差是4的倍数

四、随笔练习

例1：(2017河南) 如下图，一个正方体的表面上分别写着连续的 6 个整数，且每个相对面上的两个数的和都相等，则这 6 个整数的和为（ ）。

1. 
2. A.53
3. B.52
4. C.51
5. D.50

解析

6. 相对面数字和相等，，设其为 n，则总和为 3n，即为 3 的倍数；或者 6 个连续的整数之和为 3 的倍数。只有 C 符合。

例2：(2024广东) 档案室需要整理300份档案，要求每天整理的档案数量相同，且规定了完成的期限。如果要提前一天完成，那么每天需要多整理10份档案。则规定的期限为（ ）天。

1. A.6
2. B.7
3. C.8
4. D.9

解析

5. 方法一：总量=效率×时间，根据题干得：300=效率×时间，300能被时间整除，只有A项满足。
6. 方法二：设规定的期限为x天，根据“那么每天需要多整理10份档案”可得现在的效率比原来效率多10，所以$\frac{300}{x-1}$-$\frac{300}{x}$=10，解得x=6。
7. 故正确答案为A。

例3：(2016北京) 某单位原拥有中级及以上职称的职工占职工总数 62.5%。现又有 2 名职工评上中级职称，之后该单位拥有中级及以上职称的人数占总人数$\frac{7}{11}$。则该单位原来有多少名职称在中级以下的职工？（ ）

1. A.68
2. B.66
3. C.64
4. D.60

解析

5. 正面计算比较繁琐。。
6. 中级及以上开始时是 62.5% 即$\frac{5}{8}$，则中级以下占$\frac{3}{8}$，总数×3÷8=中级以下，根据整除特性，所以中级以下的人数为 3 的倍数。
7. 观察选项排除 A、C。当 2 人被评上中级职称后，中级以下占$\frac{4}{11}$，原来中级以下人数减 2 为 4 的倍数。
8. 故只有B项满足。

例4：(2024青海) 大学生创业主要集中在高科技、智力服务、连锁加盟和自媒体运营四个领域。某学院今年选择创业的大学毕业生不到50人，其中选择智力服务领域、连锁加盟领域和自媒体运营领域的分别占$\frac{1}{7}$，$\frac{1}{2}$和，$\frac{1}{3}$。那么该学院今年选择高科技领域创业的大学毕业生有多少人?

1. A.1
2. B.3
3. C.5
4. D.7

解析

5. 根据其中选择智力服务领域、连锁加盟领域和自媒体运营领域的占比可知，总人数是7、2、3的倍数，又因7、2、3互质，所以总人数为7×2×3=42的倍数。
6. 由于选择创业的大学毕业生不到50人，则总人数为42人。
7. 因此选择智力服务领域、连锁加盟领域和自媒体运营领域的人数分别为：42×$\frac{1}{7}$=6人，42×$\frac{1}{2}$=21人，42×$\frac{1}{3}$=14人，则选择高科技领域创业的大学毕业生有42-6-21-14=1人。
8. 故正确答案为A。

例5：(2019安徽阜阳事业单位) 某运输队运一批大米，第一次运走总数的$\frac{1}{5}$还多60袋，第二次运走总数的$\frac{1}{4}$少60袋，还剩220袋没有运走，这批大米一共有多少袋？（ ）。

1. A.350
2. B.400
3. C.450
4. D.500

解析

5. 定位题干出现 “第一次运走总数的$\frac{1}{5}$还多60袋，第二次运走总数的$\frac{1}{4}$少60袋”，可知，总数既是4的倍数也是5的倍数，4、5互质，故总数是20的倍数，排除A、C项。
6. 代入B项，第一次运走140袋，第二次运走40袋，此时剩余220袋，故B项正确。
7. 故正确答案为B。

例6：(2024广东事业单位36%) 某单位共有250名员工，其中全体党员人数比女性非党员人数多68%，男性非党员不超过100名，则该单位可能有（ ）名党员。

1. A.67
2. B.75
3. C.116
4. D.126

解析

5. 全体党员人数比女性非党员人数多68%，根据
6. 约分得全体党员：女性非党员=168：100 = 42：25
7. 因此，根据倍数特性，全体党员能被42整除。代入选项选D。

例7：(2019广西百色事业单位) 王老板的水果摊三种水果的价格分别为：梨6元/斤，苹果5元/斤，柑橘3元/斤。当天，梨与苹果的销售量之比为4：3，苹果与柑橘的销售量之比为2：11，卖柑橘的收入比卖梨的收入多102元，则王老板这天共销售水果（ ）斤。

1. A.75
2. B.94
3. C.141
4. D.165

解析

5. 方法一：根据梨与苹果的销量比4：3，苹果与柑橘的销量比2：11，可推出梨、苹果、柑橘的销量比为8：6：33。根据倍数特性，可知总销量为8+6+33=47的倍数，排除A和D项，代入B项验证，如果总销量为94斤，则柑橘为66斤，梨为16斤，柑橘收入为66×3=198元，梨收入为16×6=96元，柑橘收入比梨多102元，符合题意。
6. 方法二：根据梨与苹果的销量比4：3，苹果与柑橘的销量比2：11，可推出梨、苹果、柑橘的销量比为8：6：33。设梨、苹果、柑橘的销量分别为8$x$：6$x$：33$x$，则总销量为47$x$，根据柑橘和梨的收入差，可列式：3×33$x$-6×8$x$=102，解得$x$=2，所以王老板这天共销售水果47×2=94斤。
7. 故正确答案为B。

例8：(2014广东) 在某公司年终晚会上，所有员工分组表演节目。如果按 7 男 5 女搭配分组，则只剩下 8 名男员工；如果按 9 男 5 女搭配分组，则只剩下 40 名女员工。该公司员工总数为（ ）名。

1. A.446
2. B.488
3. C.508
4. D.576

解析

5. 假设两次分组的组数分别为 X 和 Y，总人数为 T 则：T=12X+8，T=14Y+40，虽然，不过根据，我们只要求的总人数，T-8 后是 12 的倍数，T-40 后是 14 的倍数，只有 B 选项满足条件

例9：(2020事业单位联考A类) 一堆棋子中，黑棋子的数量是白棋子的4倍。从这堆棋子中每次取出黑棋子6颗，白棋子4颗，当黑棋子剩42颗时，白棋子还剩3颗。问这堆棋子中黑棋子比白棋子多多少颗？（ ）

1. A.30
2. B.35
3. C.40
4. D.45

解析

5. 方法一：根据题干“黑棋子的数量是白棋子的4倍”可知：黑棋数量：白棋子数量=4：1，那么黑棋子比白棋子多的数量一定是3的倍数（设总数5x，那么黑棋4x，白棋x，黑棋子比白棋子多4x-x=3x），排除B、C项。代入A项，黑棋子比白棋子多30颗，故黑棋子数量为30÷3×4=40颗，不满足题干“当黑棋子剩42颗时”，排除A项。故正确答案为D。
6. 方法二：设一共取了x次棋子，则黑棋有(6x+42)颗，白棋有(4x+3)颗。根据题意可得，$\frac{4x+3}{6x+42}$=$\frac{1}{4}$，解得x=3，则黑棋比白棋多：6x+42-(4x+3)=2x+39=45颗。故正确答案为D。