排列组合及概率

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一、排列组合

定义及公式

1. 1、排列的定义：，所有的情况数可记为$A_n^m$；

2. 2、排列的计算公式：$A_n^m$=$n(n-1)(n-2)...(n-m+1)$

   1. 例如：从7人中选4人站排，所有情况=$A_7^4$=7×6×5×4

3. 3、组合的定义：，所有的情况数可记为$C_n^m$;
   

2. 4、组合的计算公式：$C_n^m$=$\frac{A_n^m}{m!}$=$\frac{n(n-1)(n-2)...(n-m+1)}{m(m-1)(m-2)...2\times 1}$
   
   1. 例如：从7人中选3人出席活动，所有情况= $C_7^3$=$\frac{7\times 6\times 5}{3\times 2\times 1}$

拓展

1. ① $C_5^5$＝$C_6^6$＝$C_7^7$＝$C_m^m$＝1
2. ② $C_5^2$＝$C_5^3$，$C_7^2$＝$C_7^5$，$C_n^m$＝$C_n^{n-m}$，可以理解为“五人中选三人剩两人”与“五人中选两人剩三人”的情况数相同。

”分类“与”分步“

1. 1、加法原理（分类计算）：完成一件事有若干的方法，每种方法均可独立完成任务。（一句话总结：多选一，各走各的路，最后把路数加起来）

   1. 例如：从北京到上海可选择飞机（3班）、火车（5趟）、汽车（2班），则总共有3 +5 +2 = 10 种方式。因为你只能选一种交通方式。

2. 2、乘法原理（分步计算）：完成一件事需，每一步的结果对后续步骤有影响。（一句话总结：一步一步来，每一步都影响下一步，最后把步数乘起来）

   1. 例如：从北京到上海有3种方式，再从上海到广州有4种方式，则总行程有 3 × 4 = 12 种组合。因为北京到上海相当一条“分支”，上海到广州又是一条“分支”，所以要乘。

3. 3、综合应用示例：从5男4女中选3人组成委员会，要求至少1男1女，有多少种选法？

   1. 解法一：分情况计算后相加。选3人，要求至少1男1女，可能的情况为1男2女，2男1女。
      1. 1男2女：$C_5^1$×$C_4^2$=5×6=30
      2. 2男1女：$C_5^2$×$C_4^1$=10×4=40
      3. 分类用加法，总共30+40=70种
   2. 解法二：逆向思维。要求至少1男1女的对立面为全男或者全女，则总选法减去全男或全女。
      1. 总选法：$C_9^3$=84
      2. 全男：$C_5^3$=10
      3. 全女：$C_4^3$=4
      4. 符合条件数：84-10-4=70种

4. 4、解题原则：有序为排列，无序为组合；分类用加法，分步用乘法；从特殊入手。

特殊解题方法

1. 1、捆绑法：将要求相邻的元素捆绑在一起看成一个元素去进行运算，就叫做捆绑法。

   1. （1）第一步：如果题目要求一部分元素必须在一起，需要。
   2. （2）第二步：将这个整体与其他元素。
   3. （3）第三步：(即几个元素就A几几)。
   4. 例子：6个人排队，甲乙相邻，丙丁也要相邻的排法有多少种

   5. 分析：甲乙要求相邻，那就将其“捆绑”，然后把他们看作为一个主体。丙丁也要求相邻，那也将其“捆绑”，然后把他们看作为一个主体。甲乙一个主体，丙丁一个主体，最后还剩下两个主体。所以现在总的有四个主体那就进行全排列$A_4^4$=24，然后两个“捆绑”的元素“解绑”排列，即$A_2^2$×$A_2^2$=4，所以24×4=96种，

2. 2、插空法：解决元素不相邻问题。

   1. （1）第一步：
   2. （2）第二步：
   3. （3）第三步：
   4. 例子：把12棵同样的松树和6棵同样的柏树种植在道路两侧，每侧种植9棵，要求每侧的柏树数量相等且不相邻，且道路起点和终点处两侧种植的都必须是松树。问有多少种不同的种植方法?(

   5. 分析：题目当中要求“每侧的柏树数量相等且不相邻”，满足插空法适用题型。两侧数量相同即一侧柏树3棵，松树6棵，进行，先安排一侧再安排另一侧，采用插空法。优先安排6棵松树，因为松树完全相同，所以有一种方法，再将3棵柏树插入空中，因为松树要在两端，所以共5个空，$C_5^3=10$，两侧都安排分步共10×10=100种方法。

3. 3、插板法：

   1. （1）题型标志：分相同的东西为若干组，每组至少分1个
   2. （2）：将n个相同的东西分给m个主体，每个主体至少分1个，有$C_{n-1}^{m-1}$种分法。
   3. （3）原理：n个相同东西排成一列，形成 n-1 个内部空，需要分给 m 个主体，那只需要把排成一列的东西分成 m 堆，那只需要在 n-1 个内部空中插入 m-1个板即可形成。
   4. （4）注意：若要求 "每人至少分a个"，我们可以先给每个主体至少分 a-1 个，此时东西还剩 n-m×(a-1)，问题直接转换成n-m×(a-1)个相同的东西分给m个主体，每个主体至少分1个，带入公式有$C_{n-am+m-1}^{m-1}$种分法。
   5. 例子：将7个大小相同的桔子分给4个小朋友，要求每个小朋友至少得到1个桔子，一共有( )种分配方法

   6. 分析：题目为7个大小相同的桔子，元素相同，分配给4个小朋友，每人至少一个，满足隔板法使用条件，可直接套用公式，方法数有$C_6^3$=20

4. 4、错位排列：

   1. （1）比如学校要考试，一共有18个班级，而学校规定，每个班的班主任不能回到自己班级监考，那么此时，班主任能够选择的是除了自己班以外的其他17个班级。这就是错位排列。
   2. （2）首先从数量少的开始，若只有1个班级，1个班主任，没有其他班级可以监考，所以有0种方式完成此事
   3. （3）若有2个班级，那么我们称之为A、B班，假设你是A班的班主任，现在要求不能监考自己的班级，只能去B班；同样假B班去A班，因此有1种方式完成此事;
   4. （4）继续假设若有3个班级A、B、C；此时只有两种方式（B班主任、C班主任、A班主任）、（C班主任、A班主任、B班主任）
   5. （5）但再往上4个班级、5个班级甚至更多……如果用这种枚举的方式去做，就很难完成了
   6. （6）：$D_n=(n-1)(D_{n-1}+D_{n-2})$
   7. （7）、6取值，表如下：

   8. n	1	2	3	4	5	6
      $D_n$	0	1	2	9	44	265

5. 5、环形排列：

   1. （1）问法：n个元素围成一圈，问有多少种排列方法？计算时需要剔除重复的排列，比如abcde，bcdea，cdeab，deabc，eabcd，这五种围成环都是一种
   2. （2）：$\frac{A_n^n}{n}=A_{n-1}^{n-1}$
   3. 例子：(2010 新疆)5 个人手拉手围成一个圆圈，问共有多少种不同方法

   4. 分析：带入公式$A_{5-1}^{5-1}$=24种方法

二、概率

1. 1、定义：概率即某种情况发生的可能性，一般以0～1之间的实数来表示；

2. 2、公式：某种情况发生的概率(P)=$\frac{\mathrm{满}\mathrm{足}\mathrm{条}\mathrm{件}\mathrm{的}\mathrm{情}\mathrm{况}\mathrm{数}}{\mathrm{总}\mathrm{的}\mathrm{情}\mathrm{况}\mathrm{数}}$ = （逆向思维）。

   1. 从公式出发也不难看出，排列组合就是概率的基础，概率的公式中分子分母都在求情况数，都是在一定条件下的排列组合；

3. 3、注意：

   1. （1）
   2. （2）可能会考察来计算概率。即P=$\frac{\mathrm{发}\mathrm{生}\mathrm{的}\mathrm{所}\mathrm{有}\mathrm{可}\mathrm{能}\mathrm{结}\mathrm{果}\mathrm{所}\mathrm{组}\mathrm{成}\mathrm{面}\mathrm{积}\mathrm{或}\mathrm{长}\mathrm{度}}{\mathrm{所}\mathrm{有}\mathrm{可}\mathrm{能}\mathrm{结}\mathrm{果}\mathrm{所}\mathrm{组}\mathrm{成}\mathrm{的}\mathrm{总}\mathrm{面}\mathrm{积}\mathrm{或}\mathrm{总}\mathrm{长}\mathrm{度}}$

拓展：跟屁虫题型

1. 1、题型判定：在概率问题中出现

   1. （1）同一行；
   2. （2）同一班次；
   3. （3）同一组；
   4. （4）不同组；
   5. （5）圆周相邻或不相邻等情况。

2. 2、解题思路：第一个元素随便放，。

   1. 例1：国王举行了晚会，有100个人（包含国王和王后）参加，随机围坐在篝火四周，则国王和王后恰好坐在一起的概率是多少？

   2. 分析：题目问“坐在篝火四”、“坐在一起”，那就是圆周相邻。根据跟屁虫原理，先让国王随便入座，还剩余99个座位，若要和国王相邻，只有国王的左边和右边两个位置；一共99个座位只有2个座位是相邻的，所以概率为 2/99。

   3. 例2：国王举行了晚会，有100个人（包含国王和王后和王子）参加，随机围坐在篝火四周，国王和王子需要坐一起，则王后和国王恰好坐在一起的概率是多少？

   4. 分析：根据跟屁虫原理，第一个元素随便放，这里的第一个元素是指“国王和王子需要坐一起”，先让国王随便入座，王子在与国王相邻，此时剩余98个座位，若王后要和国王相邻，国王旁边只有1个位置相邻，因为旁边坐了一个王子；一共98个座位只有1个座位是相邻的，所以概率为 1/98。

三、随笔练习

例1：(2014 国考 ) 一次会议某单位邀请了 10 名专家，该单位预定了 10 个房间，其中一层 5 间、二层 5 间。已知邀请专家中 4 人要求住二层，3 人要求住一层，其余 3 人住任一层均可，那么要满足他们的住房要求且每人 1 间，有多少种不同的安排方案 ?

1. A.43200
2. B.7200
3. C.450
4. D.75

解析

5. 。首先安排需要住二层的人，从 5 间二层房间中选出 4 间，安排 4 名专家的方法有$A_5^4$种；再安排需要住一层的人，从 5 间一层房间中选出 3 间，安排 3 名专家的方法有$A_5^3$种；最后安排剩下的 3 人，无任何要求，安排方法有$A_3^3$。分步用乘法，安排方法共有$A_5^4\times A_5^3\times A_3^3=43200$种。故正确答案为 A。

例2：(2016 国考 ) 为加强机关文化建设，某市直属机关在系统内举办演讲比赛。3 个部门分别派出 3、2、4 名选手参加比赛，要求每个部门的参赛选手比赛顺序必须相连，问不同参赛顺序的种数在以下哪个范围之内 ?（ ）

1. A.小于 1000
2. B.1000 ～ 5000
3. C.5001 ～ 20000
4. D.大于 20000

解析

6. 3 个部门分别派出 3、2、4 名选手参加比赛，要求每个部门的参赛选手比赛顺序必须相连。可。则总共的排列顺序有：$A_3^3\times A_2^2\times A_4^4\times A_3^3$=$6\times 2\times 24\times 6=1728$种，属于1000 ～ 5000 的范围。故正确答案为 B。

例3：办公室工作人员一共有8个人，某次会议，已知全部到场。问：恰好有3个人坐错位置的情况一共有多少种?

1. A.78
2. B.96
3. C.112
4. D.146

解析

6. ，有$C_8^5$种情况；然后，剩余3个人坐错位置，相当于3个元素的错位重排，根据上述结论，有$D_3$种情况。分步相乘，则恰好有3个人坐错位置的情况一共有$C_8^5\times D_3=56\times 2=112$种，故选C。

例4：(2018贵州选调)某公司将在本周一至周日连续七天举办联谊会，某员工随机地选择其中的连续两天参加联谊会，那么他在周五至周日期间连续两天参加联谊会的概率为：

1. A. 1/2
2. B. 1/3
3. C. 1/4
4. D. 1/6

解析

5. 满足“周五至周日期间连续两天参加联谊会”的情况数为2种，即周五周六、周六周日参加联谊会；
6. 总情况数为在本周一至周日连续七天内选择连续两天参加联谊会，有6种情况（即周一周二、周二周三、周三周四、周四周五、周五周六、周六周日6种情况）。
7. 故概率P=2/6=1/3

例5：(2018四川自贡事业单位)5人相约一起去看电影，已知5个人同坐一排，且甲、乙、丙三人必须挨在一起，一共有（ ）种坐法。

1. A.18
2. B.28
3. C.36
4. D.42

解析

6. 根据题意，“甲、乙、丙三人必须挨在一起”，，然后再与剩余的2人进行排列有$A_3^3$种方法，再考虑甲乙丙捆绑内部顺序有$A_3^3$种方法，因此有6×6=36种坐法。故正确答案为C。

例6：(2020云南)某城市一条道路上有4个十字路口，每个十字路口至少有1名交通协管员，现将8个协管员名额分配到这4个路口，则每个路口协管员名额的分配方案有：

1. A. 35种
2. B. 70种
3. C. 96种
4. D. 114种

解析

5. 所问为每个路口协管员名额的分配方案有多少种，则只需要考虑每个路口分配的人数是多少，不需要考虑到底分配哪个协管员。
6. 根据插板法：m个相同元素分成n组，每组至少1个，则分配情况有$C_{n-1}^{m-1}$种，题干可以理解为8个相同的名额分成4组，每组至少1个名额，则所求为$C_7^3$=35种
7. 故正确答案为A。

例7：(2017国考) 某集团企业 5 个分公司分别派出 1 人去集团总部参加培训，培训后再将 5 人随机分配到这 5 个分公司，每个分公司只分配 1 人。问 5 个参加培训的 人中，有且仅有 1 人在培训后返回原分公司的概率：

1. A.低于 20%
2. B.在 20%~30% 之间
3. C.在 30%~35% 之间
4. D.大于 35%

解析

6. 5个人任意分配到5个分公司的总情况数为$A_5^5$=5×4×3×2×1=120；满足只有 1 人培训后返回原分公司的情况数为：$C_5^1\times D_4=45$(先在5人中任选1人返回原分公司，共有$C_5^1$ 种选择；再将剩下 4 人错位排列，$D_4=9$)。则所求概率 =$\frac{\mathrm{满}\mathrm{足}\mathrm{要}\mathrm{求}\mathrm{的}\mathrm{情}\mathrm{况}\mathrm{数}}{\mathrm{总}\mathrm{的}\mathrm{情}\mathrm{况}\mathrm{数}}=\frac{45}{120}=\frac{3}{8}=37.5$。故正确答案为 D。

例8：(2023浙江)某停车场有7个连成一排的空车位。现有3辆车随机停在这排车位中，则任意两辆车之间至少间隔一个车位的概率为：

1. A. 1/5
2. B. 2/7
3. C. 6/35
4. D. 9/35

解析

6. 根据题意，7个车位随机停3辆车，总情况数为$A_7^3$=7×6×5=210种。满足条件的情况为任意两辆车之间至少间隔一个车位，即车辆之间不能相邻，可用插空法。
7. 剩下的7-3=4个车位共形成5个空，停放3辆车，情况数为$A_5^3$=5×4×3=60种。
8. 因此所求概率P=60/210=2/7
9. 故正确答案为B。

例9：(2018河北石家庄事业单位)有5对夫妻参加一场婚礼，他们被安排在一张10个座位的圆桌就餐，但是操办者不知道他们之间的关系，随机安排座位，问5对夫妻恰好相邻而坐的概率是（ ）。

1. A．在1‰到5‰之间
2. B．在5‰到1%之间
3. C．超过1%
4. D．不超过1‰

解析

5. 假设5对夫妇恰好都被安排在一起相邻而坐为事件A，则A发生的概率=事件A的情况数/总的情况数。
6. 10个人绕圆桌就餐，这是一个环形排列问题。N个物体排成一个环，那么有$A_{n-1}^{n-1}$种可能，所以圆桌的坐法一共有$A_9^9$种。
7. 让所有的夫妇坐一块，可以将夫妇当成一个整体，相应的两个座位当成一个整体，则有5对夫妇去坐一个五个双人坐的圆桌，所以有$A_4^4$种情况，而且每个夫妻本身坐法有左右之分，所以每个内部都有2种，5对夫妇每个内部的总顺序为2×2×2×2×2，所以夫妻坐一块一共有$A_4^4$×32种。
8. 所以概率=$\frac{4\times 3\times 2\times 32}{9\times 8\times 7\times 6\times 5\times 4\times 3\times 2}$= 2/945≈2‰。
9. 答案选A。

例10：(2018国家)某单位的会议室有5排共40个座位，每排座位数相同。小张和小李随机入座，则他们坐在同一排的概率：

1. A．不高于15%
2. B．高于15%但低于20%
3. C．正好为20%
4. D．高于20%

解析

5. 解法一：
   1. 从40个座位中选2个座位，由小张和小李随机入座，总的情况数为$A_{40}^2$=40×39
   2. 要让他们恰好坐在同一排，应先从5排中选一排，再从这一排中选2个座位，符合条件的情况为$C_5^1$$A_8^2$=5×8×7。满足情况的概率=$\frac{5\times 8\times 7}{40\times 39}$约等于18%。
   3. 故正确答案为B。
6. 解法二：
   1. 同一排同一列可以使用跟屁虫原理。
   2. 5排40个座位，每排8个座位。先让第一个人随便坐，假设是小张。
   3. 轮到小李坐，一共还有39个座位，但和小张坐在同一排剩余8-1=7个座位，所以概率为7/39 < 20%。
   4. 故正确答案为B。

例11：(2025河北36%)一只蜘蛛爬到一块正方形瓷砖上，该瓷砖的花纹由8个全等的菱形和12个全等的等腰直角三角形构成（如下图所示），假设蜘蛛的停留位置是随机的，那么蜘蛛恰好停在白色区域的概率最接近下列哪个值？

2. A．25%
3. B．30%
4. C．35%
5. D．高于20%

解析

6. 几何概率。求出$\frac{白色面积}{正方形面积}$即可。
7. 设每个等腰直角三角形的直角边长度为1，可得每个等腰直角三角形的斜边长度为$\sqrt{2}$，则正方形的边长为1+1+$\sqrt{2}$，注意不是3喔，题目是等腰直角三角形，不是等边。
8. 则每个等腰直角三角形的面积=0.5×1×1=0.5，正方形瓷砖的总面积为=$(1+1+\sqrt{2}{)}^2$=$6+4\sqrt{2}$
9. 则概率=$\frac{8\times 0.5}{6+4\sqrt{2}}$=$\frac{4}{6+4\times 1.41}$=34.4%，与C项最接近。
10. 故正确答案为C。

例12：(2024海南)一块直角三角形绿地的三边均铺有长度为整数米的水管，其中一条直角边外的水管长7米。若在水管上随机任选1个点做标记，则该标记点在斜边上的概率在以下哪个范围内？（忽略水管直径）

1. A．小于0.35
2. B．在0.35~0.42之间
3. C．在0.42~0.50之间
4. D．大于0.50

解析

5. 根据题意，若直角三角形一条直角边为a，a=7米，设另外一条直角边为b，斜边长为c，根据勾股定理可知$c^2-b^2=7^2$，即（c+b）×（c-b）=49×1，可得：c+b=49······①，c-b=1······②，联立①②两式，解得：b=24米，c=25米。
6. 若在水管上随机任选1个点做标记，则该标记点在斜边上的概率为$\frac{斜边}{周长}$=$\frac{25}{25+7+24}$约等于0.45，在C项范围内。
7. 故正确答案为C。