排列组合及概率

排列组合是概率的基础，通过排列组合的学习，才能正确计算概率题目。

一、排列组合

定义及公式

(1)组合的定义和基础公式:

，所有的情况数可记为$C_n^m$;
：$C_n^m$=$C_n^{n-m}$=$\frac{n(n-1)(n-2)...(n-m+1)}{m(m-1)(m-2)...2\times 1}$

例如：从五人中选三人出席活动，所有情况= $C_5^3=\frac{5\times 4\times 3}{3\times 2\times 1}=10$
$C_n^m$=$C_n^{n-m}$可以理解为“五人中选三人剩两人”与“五人中选两人剩三人”的情况数相同。

(2)排列的定义和基础公式:

，所有的情况数可记为$A_n^m$;
：$A_n^m$=$\frac{n!}{(n-m)!}$=$n(n-1)(n-2)...(n-m+1)$

例如从5人中选3人站排，所以情况=$A_5^3$=$5\times 4\times 3$=60

”分类“与”分步“

(1)加法原理（分类计算）：
  如果完成一件任务，有3种方法选择，第一种方法有3种人员选择，第二种方法有2种人员选择，第三种方法有2种人员选择，那完成该任务即有3+2+2=7种选择。
  关键问题：确定工作的分类方法，完成该工作不需要使用所有方法，选一即可。
(2)乘法原理（分步计算）：
  如果完成一件任务，有3个步骤，第一个步骤有3种选择，第二个步骤有2种选择，第三个步骤有2种选择，那完成该任务即有3×2×2=12种选择。
  关键问题：确定工作的完成步骤，完成该工作需要做完所有步骤，缺一不可。

解题原则

  有序为排列，无序为组合；分类用加法，分步用乘法；从特殊入手，全部减不符

特殊方法

1. ：将要求相邻的元素捆绑在一起看成一个元素去进行运算，就叫做捆绑法。

   1. 第一步：如果题目要求一部分元素必须在一起，需要先将要求在一起的部分视为一个整体。
   2. 第二步：将这个整体与其他元素一起进行排列。
   3. 第三步：由于两个被“捆绑”的元素内部也有排列，最后要“解绑”，把捆绑的元素内部全排列(即几个元素就A几几)。
   4. 例子：6个人排队，甲乙相邻，丙丁也要相邻的排法有多少种

   5. 分析：甲乙要求相邻，那就将其“捆绑”，然后把他们看作为一个主体。丙丁也要求相邻，那也将其“捆绑”，然后把他们看作为一个主体。甲乙一个主体，丙丁一个主体，最后还剩下两个主体。所以现在总的有四个主体那就进行全排列$A_4^4$=24，然后两个“捆绑”的元素“解绑”排列，即$A_2^2$×$A_2^2$=4，所以24×4=96种，

2. ：元素不相邻问题

   1. 第一步：将剩余元素(除不相邻元素)排序。
   2. 第二步：再找出能够插入的空位。
   3. 第三步：将不相邻的元素插入到不同的空位中。
   4. 例子：把12棵同样的松树和6棵同样的柏树种植在道路两侧，每侧种植9棵，要求每侧的柏树数量相等且不相邻，且道路起点和终点处两侧种植的都必须是松树。问有多少种不同的种植方法?(

   5. 分析：题目当中要求“每侧的柏树数量相等且不相邻”，满足插空法适用题型。两侧数量相同即一侧柏树3棵，松树6棵，进行，先安排一侧再安排另一侧，采用插空法。优先安排6棵松树，因为松树完全相同，所以有一种方法，再将3棵柏树插入空中，因为松树要在两端，所以共5个空，$C_5^3=10$，两侧都安排分步共10×10=100种方法。

3. ：

   1. 题型标志：分相同的东西为若干组，每组至少分1个
   2. 解题方法：将n个相同的东西分给m个主体，每个主体至少分1个，有$C_{n-1}^{m-1}$种分法。
   3. 原理：n个相同东西排成一列，形成 n-1 个内部空，需要分给 m 个主体，那只需要把排成一列的东西分成 m 堆，那只需要在 n-1 个内部空中插入 m-1个板即可形成。
   4. 注意：若要求 "每人至少分a个"，我们可以先给每个主体至少分 a-1 个，此时东西还剩 n-m×(a-1)，问题直接转换成n-m×(a-1)个相同的东西分给m个主体，每个主体至少分1个，带入公式有$C_{n-am+m-1}^{m-1}$种分法。
   5. 例子：将7个大小相同的桔子分给4个小朋友，要求每个小朋友至少得到1个桔子，一共有( )种分配方法

   6. 分析：题目为7个大小相同的桔子，元素相同，分配给4个小朋友，每人至少一个，满足隔板法使用条件，可直接套用公式，方法数有$C_6^3$=20

4. ：

   1. 比如学校要考试，一共有18个班级，而学校规定，每个班的班主任不能回到自己班级监考，那么此时，班主任能够选择的是除了自己班以外的其他17个班级。这就是错位排列。
   2. 首先从数量少的开始，若只有1个班级，1个班主任，没有其他班级可以监考，所以有0种方式完成此事
   3. 若有2个班级，那么我们称之为A、B班，假设你是A班的班主任，现在要求不能监考自己的班级，只能去B班；同样假B班去A班，因此有1种方式完成此事;
   4. 继续假设若有3个班级A、B、C；此时只有两种方式（B班主任、C班主任、A班主任）、（C班主任、A班主任、B班主任）
   5. 但再往上4个班级、5个班级甚至更多……如果用这种枚举的方式去做，就很难完成了
   6. ：$D_n=(n-1)(D_{n-1}+D_{n-2})$
   7. 、6取值，表如下：

   8. n	1	2	3	4	5	6
      $D_n$	0	1	2	9	44	265

5. ：

   1. 问法：n个元素围成一圈，问有多少种排列方法?
   2. 注意：计算时需要剔除重复的排列，比如abcde，bcdea，cdeab，deabc，eabcd，这五种围成环都是一种
   3. 直接用公式：$\frac{A_n^n}{n}=A_{n-1}^{n-1}$
   4. 例子：(2010 新疆)5 个人手拉手围成一个圆圈，问共有多少种不同方法

   5. 分析：带入公式$A_{5-1}^{5-1}$=24种方法

二、概率

定义及公式

  概率即某种情况发生的可能性，一般以0～1之间的实数来表示；
  其公式为：某种情况发生的概率=$\frac{\mathrm{满}\mathrm{足}\mathrm{条}\mathrm{件}\mathrm{的}\mathrm{情}\mathrm{况}\mathrm{数}}{\mathrm{总}\mathrm{的}\mathrm{情}\mathrm{况}\mathrm{数}}$ = 1 - 某种情况不发生的概率
  
  从公式出发也不难看出，为什么我们前面说排列组合是概率的基础，概率的公式中分子分母都在求情况数，都是在一定条件下的排列组合；
  当然，除排列组合外，还有一种情况，则可以通过区域面积或者长度来计算概率，即为涉及到了几何图形的概率，这个考查较少：

三、随笔练习

例1：(2014 国考 ) 一次会议某单位邀请了 10 名专家，该单位预定了 10 个房间，其中一层 5 间、二层 5 间。已知邀请专家中 4 人要求住二层，3 人要求住一层，其余 3 人住任一层均可，那么要满足他们的住房要求且每人 1 间，有多少种不同的安排方案 ?

1. A.43200
2. B.7200
3. C.450
4. D.75

解析

5. 。首先安排需要住二层的人，从 5 间二层房间中选出 4 间，安排 4 名专家的方法有$A_5^4$种；再安排需要住一层的人，从 5 间一层房间中选出 3 间，安排 3 名专家的方法有$A_5^3$种；最后安排剩下的 3 人，无任何要求，安排方法有$A_3^3$。分步用乘法，安排方法共有$A_5^4\times A_5^3\times A_3^3=43200$种。故正确答案为 A。

例2：(2016 国考 ) 为加强机关文化建设，某市直属机关在系统内举办演讲比赛。3 个部门分别派出 3、2、4 名选手参加比赛，要求每个部门的参赛选手比赛顺序必须相连，问不同参赛顺序的种数在以下哪个范围之内 ?（ ）

1. A.小于 1000
2. B.1000 ～ 5000
3. C.5001 ～ 20000
4. D.大于 20000

解析

6. 3 个部门分别派出 3、2、4 名选手参加比赛，要求每个部门的参赛选手比赛顺序必须相连。可。则总共的排列顺序有：$A_3^3+A_2^2+A_4^4+A_3^3$=$6\times 2\times 24\times 6=1728$种，属于1000 ～ 5000 的范围。故正确答案为 B。

例3：办公室工作人员一共有8个人，某次会议，已知全部到场。问：恰好有3个人坐错位置的情况一共有多少种?

1. A.78
2. B.96
3. C.112
4. D.146

解析

6. ，有$C_8^5$种情况;剩余3个人坐错位置，相当于3个元素的错位重排，根据上述结论，有$D_3$种情况。分步相乘，则恰好有3个人坐错位置的情况一共有$C_8^5\times D_3=56\times 2=112$种，故选C。

例4：(2018四川自贡事业单位)5人相约一起去看电影，已知5个人同坐一排，且甲、乙、丙三人必须挨在一起，一共有（ ）种坐法。

1. A.18
2. B.28
3. C.36
4. D.42

解析

6. 根据题意，“甲、乙、丙三人必须挨在一起”，，再与剩余的2人进行排列有$A_3^3$种方法，再考虑甲乙丙捆绑内部顺序有$A_3^3$种方法，因此有6×6=36种坐法。故正确答案为C。

例5：(2017 国考 ) 某集团企业 5 个分公司分别派出 1 人去集团总部参加培训，培训后再将 5 人随机分配到这 5 个分公司，每个分公司只分配 1 人。问 5 个参加培训的 人中，有且仅有 1 人在培训后返回原分公司的概率：

1. A.低于 20%
2. B.在 20%~30% 之间
3. C.在 30%~35% 之间
4. D.大于 35%

解析

6. 5个人任意分配到5个分公司的总情况数为$A_5^5$=5×4×3×2×1=120；满足只有 1 人培训后返回原分公司的情况数为：$C_5^1\times D_4=45$(先在5人中任选1人返回原分公司，共有$C_5^1$ 种选择；再将剩下 4 人错位排列，$D_4=9$)。则所求概率 =$\frac{\mathrm{满}\mathrm{足}\mathrm{要}\mathrm{求}\mathrm{的}\mathrm{情}\mathrm{况}\mathrm{数}}{\mathrm{总}\mathrm{的}\mathrm{情}\mathrm{况}\mathrm{数}}=\frac{45}{120}=\frac{3}{8}=37.5$。故正确答案为 D。