排列组合及概率

排列组合是概率的基础，通过排列组合的学习，才能正确计算概率题目。

一、排列组合

定义及公式

(1)组合的定义和基础公式:

，所有的情况数可记为$C_n^m$;
：$C_n^m$=$C_n^{n-m}$=$\frac{n(n-1)(n-2)...(n-m+1)}{m(m-1)(m-2)...2\times 1}$

例如，从五人中选三人出席活动，所有情况= $C_5^3=\frac{5\times 4\times 3}{3\times 2\times 1}=10$
$C_n^m$=$C_n^{n-m}$可以理解为“五人中选三人剩两人”与“五人中选两人剩三人”的情况数相同。

(2)排列的定义和基础公式:

，所有的情况数可记为$A_n^m$;
：$A_n^m$=$\frac{n!}{(n-m)!}$=$n(n-1)(n-2)...(n-m+1)$

例如从5人中选3人站排，所以情况=$A_5^3$=$5\times 4\times 3$=60

”分类“与”分步“

(1)加法原理（分类计算）：
  如果完成一件任务，有3种方法选择，第一种方法有3种人员选择，第二种方法有2种人员选择，第三种方法有2种人员选择，那完成该任务即有3+2+2=7种选择。
  关键问题：确定工作的分类方法，完成该工作不需要使用所有方法，选一即可。
(2)乘法原理（分步计算）：
  如果完成一件任务，有3个步骤，第一个步骤有3种选择，第二个步骤有2种选择，第三个步骤有2种选择，那完成该任务即有3×2×2=12种选择。
  关键问题：确定工作的完成步骤，完成该工作需要做完所有步骤，缺一不可。

解题原则

  有序为排列，无序为组合；分类用加法，分步用乘法；从特殊入手，全部减不符

特殊方法

1. ：将要求相邻的元素捆绑在一起看成一个元素去进行运算，就叫做捆绑法。

   1. 第一步：如果题目要求一部分元素必须在一起，需要先将要求在一起的部分视为一个整体。
   2. 第二步：将这个整体与其他元素一起进行排列。
   3. 第三步：将该整体内部解绑，内部排序。

2. ：元素不相邻问题

   1. 第一步：将剩余元素(除不相邻元素)排序。
   2. 第二步：再找出能够插入的空位。
   3. 第三步：将不相邻的元素插入到不同的空位中。

例子：把12棵同样的松树和6棵同样的柏树种植在道路两侧，每侧种植9棵，要求每侧的柏树数量相等且不相邻，且道路起点和终点处两侧种植的都必须是松树。问有多少种不同的种植方法?( )

分析：题目当中要求“每侧的柏树数量相等且不相邻”，满足插空法适用题型。两侧数量相同即一侧柏树3棵，松树6棵，进行，先安排一侧再安排另一侧，采用插空法。优先安排6棵松树，因为松树完全相同，所以有一种方法，再将3棵柏树插入空中，因为松树要在两端，所以共5个空，$C_5^3=10$，两侧都安排分步共10×10=100种方法。

3. ：相同的物品分给多个主体时，要求每个主体至少分 N 个，就可以考虑插板法。
   1. 第一步：先给每个主体至少分 个。
   2. 第二步：剩下的物品必须给每个主体至少再分 1 个才能满足要求，此时将剩下的物品插板分堆即可。
   3. 第三步：计算插板数量，
   4. 第四步：计算空隙，
   5. 主体分到的数量不为0时，如下图所示。空隙=8-1=7，从7个空选两个空进行插板
   6. 
   7. 主体分到的数量为0时，如下图所示。空隙=8+2=10，从10个空选两个空进行插板
   8. 

例子：把8个球分给甲乙丙3个人，要求甲一定有，共有多少种分法？

分析：计数类问题先满足有特殊要求的。甲一定有，就先给甲1个，然后剩下的7个球再分给甲乙丙3个人，可以为0,插板数量=3-1=2,空隙=7+2=9。$C_9^2=36$

4. ：

   1. 比如学校要考试，一共有18个班级，而学校规定，每个班的班主任不能回到自己班级监考，那么此时，班主任能够选择的是除了自己班以外的其他17个班级。这就是错位排列。
   2. 首先从数量少的开始，若只有1个班级，1个班主任，没有其他班级可以监考，所以有0种方式完成此事
   3. 若有2个班级，那么我们称之为A、B班，假设你是A班的班主任，现在要求不能监考自己的班级，只能去B班；同样假B班去A班，因此有1种方式完成此事;
   4. 继续假设若有3个班级A、B、C；此时只有两种方式（B班主任、C班主任、A班主任）、（C班主任、A班主任、B班主任）
   5. 但再往上4个班级、5个班级甚至更多……如果用这种枚举的方式去做，就很难完成了
   6. ：$D_n=(n-1)(D_{n-1}+D_{n-2})$
   7. 、6取值，表如下：

   8. n	1	2	3	4	5	6
      $D_n$	0	1	2	9	44	256

5. ：

   1. 问法：n个元素围成一圈，问有多少种排列方法?
   2. 注意：计算时需要剔除重复的排列，比如abcde，bcdea，cdeab，deabc，eabcd，这五种围成环都是一种
   3. 直接用公式：$\frac{A_n^n}{n}=A_{n-1}^{n-1}$

例子：(2010 新疆)5 个人手拉手围成一个圆圈，问共有多少种不同方法?

分析：带入公式$A_{5-1}^{5-1}$=24种方法

二、概率

定义及公式

  概率即某种情况发生的可能性，一般以0～1之间的实数来表示；
  其公式为：某种情况发生的概率=$\frac{\mathrm{满}\mathrm{足}\mathrm{条}\mathrm{件}\mathrm{的}\mathrm{情}\mathrm{况}\mathrm{数}}{\mathrm{总}\mathrm{的}\mathrm{情}\mathrm{况}\mathrm{数}}$ = 1 - 某种情况不发生的概率
  
  从公式出发也不难看出，为什么我们前面说排列组合是概率的基础，概率的公式中分子分母都在求情况数，都是在一定条件下的排列组合；
  当然，除排列组合外，还有一种情况，则可以通过区域面积或者长度来计算概率，即为涉及到了几何图形的概率，这个考查较少：

三、随笔练习

1. 例1：(2014 国考 ) 一次会议某单位邀请了 10 名专家，该单位预定了 10 个房间，其中一层 5 间、二层 5 间。已知邀请专家中 4 人要求住二层，3 人要求住一层，其余 3 人住任一层均可，那么要满足他们的住房要求且每人 1 间，有多少种不同的安排方案 ?
2. A.43200
3. B.7200
4. C.450
5. D.75

：。首先安排需要住二层的人，从 5 间二层房间中选出 4 间，安排 4 名专家的方法有$A_5^4$种；再安排需要住一层的人，从 5 间一层房间中选出 3 间，安排 3 名专家的方法有$A_5^3$种；最后安排剩下的 3 人，无任何要求，安排方法有$A_3^3$。分步用乘法，安排方法共有$A_5^4\times A_5^3\times A_3^3=43200$种。故正确答案为 A。

1. 例2：(2016 国考 ) 为加强机关文化建设，某市直属机关在系统内举办演讲比赛。3 个部门分别派出 3、2、4 名选手参加比赛，要求每个部门的参赛选手比赛顺序必须相连，问不同参赛顺序的种数在以下哪个范围之内 ?（ ）
2. A.小于 1000
3. B.1000 ～ 5000
4. C.5001 ～ 20000
5. D.大于 20000

：3 个部门分别派出 3、2、4 名选手参加比赛，要求每个部门的参赛选手比赛顺序必须相连。可。则总共的排列顺序有：$A_3^3+A_2^2+A_4^4+A_3^3$=$6\times 2\times 24\times 6=1728$种，属于1000 ～ 5000 的范围。故正确答案为 B。

1. 例3：办公室工作人员一共有8个人，某次会议，已知全部到场。问：恰好有3个人坐错位置的情况一共有多少种?
2. A.78
3. B.96
4. C.112
5. D.146

：，有$C_8^5$种情况;剩余3个人坐错位置，相当于3个元素的错位重排，根据上述结论，有$D_3$种情况。分步相乘，则恰好有3个人坐错位置的情况一共有$C_8^5\times D_3=56\times 2=112$种，故选C。

1. 例4：六个人一起排成一排进行拍照留念，其中甲乙必须站在一起，问按照这种拍照方式，总共有多少种拍照方法?
2. A.120
3. B.240
4. C.360
5. D.480

：，但是对于他们两个内部，是有顺序之分，因此有$A_2^2$种方法，除了甲乙之外，还剩下四个人，加上捆在一起的甲乙一人，这时候他们任意排剩下5个位置，因此有$A_5^5$，因此总共有：2×120=240种。

1. 例5：(2017 国考 ) 某集团企业 5 个分公司分别派出 1 人去集团总部参加培训，培训后再将 5 人随机分配到这 5 个分公司，每个分公司只分配 1 人。问 5 个参加培训的 人中，有且仅有 1 人在培训后返回原分公司的概率：
2. A.低于 20%
3. B.在 20%~30% 之间
4. C.在 30%~35% 之间
5. D.大于 35%

：5个人任意分配到5个分公司的总情况数为$A_5^5$=5×4×3×2×1=120；满足只有 1 人培训后返回原分公司的情况数为：$C_5^1\times D_4=45$(先在5人中任选1人返回原分公司，共有$C_5^1$ 种选择；再将剩下 4 人错位排列，$D_4=9$)。则所求概率 =$\frac{\mathrm{满}\mathrm{足}\mathrm{要}\mathrm{求}\mathrm{的}\mathrm{情}\mathrm{况}\mathrm{数}}{\mathrm{总}\mathrm{的}\mathrm{情}\mathrm{况}\mathrm{数}}=\frac{45}{120}=\frac{3}{8}=37.5$。故正确答案为 D。