计算问题

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本章节的内容考频比较低。

一、等差数列

  等差数列是指从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数。例如：1，3，5，7，9……。数列的第一项叫做首项。
  相邻两项的差值叫做公差，用 d 表示。前n项和用 Sn 表示

1. 1、基本公式
   1. （1）：$a_n$=$a_1+(n-1)d$；其中$a_n$表示第n项的值。
   2. （2）‌：$a_n$＝$a_{n-1}$＋d＝$a_{n-2}$＋2d＝...＝$a_1$＋(n-1)d
   3. （3）：

      1. ①$S_n$=$\frac{(a_1+a_n)\times n}{2}$ = $n{a}_1$+$\frac{n(n-1)}{2}d$

      2. ②$S_n:\{\begin{array}{l}\mathrm{中}\mathrm{间}\mathrm{项}\times n（n\mathrm{为}\mathrm{奇}\mathrm{数}）\\ \frac{\mathrm{中}\mathrm{间}\mathrm{两}\mathrm{项}\mathrm{和}}{2}\times n（n\mathrm{为}\mathrm{偶}\mathrm{数}）\end{array}$

例：(2016河北事业单位) 某剧院共 25 排座位，后一排均比前一排多 2 个座位，已知最后一排有 80 个座位，问这个剧院一共有多少个座位？

1. A.1200
2. B.1300
3. C.1400
4. D.1500

解析

1. 第一排座位数为 32，剧院共有 1400 个座位，公差为d。
2. 因$a_{25}$=80，根据$a_{25}$=$a_1$+(25-1)×2，得$a_1$=32。
3. 再根据求和公式$S_n$=$\frac{(a_1+a_n)\times n}{2}$，可得$S_{25}$=$\frac{(32+80)\times 25}{2}$=1400。
4. 故答案选C

例：(2017江苏) 某一楼一户住宅楼共17层，电梯费按季交纳，分摊规则为：第一层的住户不交纳；第三层及以上的住户，每层比下一层多交纳10元。若每一季度该住宅楼某单元的电梯费共计1904元，则该单元第7层住户一季度应交纳的电梯费是：

1. A. 72元
2. B. 82元
3. C. 84元
4. D. 94元

解析

5. 方法一：
   1. 设第二层一季度电梯费为x，则第三层电梯费为x＋10，以此类推第17层电梯费为x＋150。
   2. 则一季度该栋住宅楼电梯费总和为x＋(x＋10)＋....＋(x＋150)=16x+1200=1904，解得x=44。
   3. 所以第7层电梯费为x＋50=94元。
   4. 故正确答案为D。
6. 方法二：
   1. 第三层及以上，每层比下一层多10元，即“从第2层起，每层多10元”，满足等差数列定义。
   2. 因为第一层住户不交纳，所以1904是第2层到第17层这个等差数列的和，一共有16层。根据总和=中间项×项数，则中间项（2+17）÷2=9.5层的值为1904÷16=119元，而公差为10元，所以第9层为119-（10÷2）=114元，所以第7层为114-2×10=94元。
   3. 故正确答案为D。

二、周期循环

1. 1、周期余数：
   1. （1）题型识别：出现循环或周期，问第/过N天/年是星期几。
   2. （2）解题思路：
      1. ①找周期：确定周期的起点和长度
      2. ②算余数：总数（N）÷周期＝周期数量……余数（n）
      3. ③做等价：N项等价于该周期的第n项；N项等价于该周期的过n项。
      4. 注：过N天＝第（N＋1）天
   3. 引例1：1月1日是星期一，问一月份第16天（1月16日）是星期几？
      1. 【解析】题干中出现星期，即存在周期，问某一天是星期几，因此可判断本题为周期余数问题。1月1日是第一天，那么1月16日为第十六天。第16天÷7＝2周……2天；一个周期是周一到周日，两周还是周日，周期结束之后再往下数两天，故一月份第16天为星期二。
   4. 引例2：1月1日是星期一，问再过16天是星期几？
      1. 【解析】题干中出现星期，即存在周期，问再过几天是星期几，因此可判断本题为周期余数问题。过16天，是从1月1号再往下数16天，即题目可转化为求1月17号星期几？第17天÷7＝2周……3天；即一个周期是从周一到周日，周期结束是周日，再往下数3天为周三，故再过16天为星期三。
2. 2、周期相遇：
   1. （1）题型识别：出现多个小周期，求再次相遇。
   2. （2）解题思路：找多个小周期的最小公倍数。
   3. 注：每隔N天＝每（N＋1）天
   4. 引例1：小刘每2天去一次图书馆，小凯每3天去一次图书馆，8月1日两人同去了图书馆，问下次两人同时去图书馆的日期？
      1. 【解析】题干中出现2天去一次，3天去一次，即多个小周期，问下次相遇的日期，因此可判断本题为周期相遇问题。最小公倍数为6（2和3的最小公倍数），也就是每六天两人同去一次图书馆，下次两人同时去图书馆为六天后，8月1日再过6天为8月7日。故下次两人同时去图书馆的日期为8月7日。
3. 3、星期日期推断：
   1. （1）题型识别：给出一段时间内有若干个周几，推算某一天是周几。
   2. （2）解题思路：给出时间段为一个月，则取连续28天，求前（月初）取后，求后（月末）取前。
   3. （3）常用结论：
      1. ①每连续7天，必有周一到周日各1天。
      2. ②每连续28天，必有周一到周日各4天。

例：(2013国考)书架的某一层上有 136 本书，且是按照“3 本小说、4 本教材、5 本工具书、7 本科技书、 3 本小说、4 本教材……”的顺序循环从左至右排列的。问该层最右边的一本是什么书？

2. A.小说
3. B.教材
4. C.工具书
5. D.科技书

解析

一个完整的，所以最小循环周期为 19。136÷19=7……3，所以有 7 个完整的循环周期。还多 3 本，正好多 3 本小说，最后一本为小说。故答案选A

例：(2019新疆事业单位)某政府机关内甲、乙两部门通过门户网站定期向社会发布消息，甲部门每隔两天、乙部门每隔3天有一个发布日，节假日无休。问甲、乙两部门在一个自然月内最多有几天同时为发布日？

2. A.5
3. B.2
4. C.6
5. D.3

解析

根据“甲部门每隔两天、乙部门每隔3天有一个发布日”，即出现多个小周期，问同时为发布日有几天，可判定问题为周期相遇问题。
甲：每隔两天相当于每3天发布一次；乙：每隔3天相当于每4天发布一次；甲乙最小公倍数为12（3和4的最小公倍数为12）；问最多有几天，自然月选取天数最多月份，一个月是31天。
假设甲、乙两部门1号同时发布一次，该自然月最多还有30天。30÷12＝2周……6天；还可以同时发布两次。那么一个自然月内最多共有3天是同时发布的，对应D选项。

例：(2018山西事业单位)根据国务院办公厅部分节假日安排的通知，某年8月份有22个工作日，那么当年的8月1日可能是：

2. A.周一或周三
3. B.周三或周日
4. C.周一或周四
5. D.周四或周日

解析

根据“8月份有22个工作日”，即出现一段时间内有若干个工作日，问8月1日是周几，可判定问题为星期日期推断问题。
8月份一共31天，每连续28天，为四个周期，一个周期有5个工作日，28天有4×5=20个工作日，8月有22个工作日，所以现在还差两个工作日，求前取后，即求8月1日所以把相同的周期（连续的28天）放到后面，前面剩下3天进行分析，要求前三天一共2个工作日，直接代入选项，如果8月1日是周一，1日、2日、3日三天共3个工作日，不符合题干要求，排除A选项，同时也可排除C选项；如果8月1日是周三，前三天共3个工作日，不符合题干要求，排除B选项，只剩下D选项。

三、钟表问题

1. 1、钟面问题：在钟面上，我们主要研究时针和分针之间的关系。这包括时钟的快慢、周期以及时针和分针之间的角度。，这里的“人”是分针和时针。与其他行程问题不同，这里的速度和总路程的计算方式不再是米每秒或千米每小时，而是每分钟走多少角度或多少小格。
   1. 对于正常的时钟，整个钟面为360度，上面有12个大格，每个格子为30度，60个小格，每个小格为6度。
   2. ：走一圈是1小时即60分钟，每分钟走360÷60=6度。
   3. ：走一圈是12小时即720分钟，每分钟走360÷720=0.5度，时针每小时走30度。
   4. 公式：
2. 2、坏钟问题：坏钟问题涉及坏钟时间与标准时间的关系，统称为坏钟问题。。好坏钟问题有两种考查方式：
   1. ①第一种，就是问坏钟经过多久会重新走对？
   2. ●假设有一个钟每天快30分钟，某天中午12点将其调至标准时间，则经过多久会再次显示标准时间？
   3. ●分析：这个钟每天快30分钟，那2天就会快出1个小时；4天快出2个小时.....24天快出12小时..；也就是经过24天后该坏钟会再次显示标准时间；变成了周期循环问题了。
   4. ●那假设有2个坏钟，各有各的坏，当同时给调整为标准时间之后，要再经过多久两个坏钟会同时显示标准时间？
   5. ●既然1个钟是倍数问题，那2个钟就是最小公倍数问题了
   6. ●
   7. ②第二种，就是在坏钟的指导下如何有序安排生活和工作？
   8. ●举个例子：小明家有一个闹钟，由于电池存在问题，所以每个小时都会慢4分钟，现在于晚上22:00时将该钟对成标准的时间，则当这个钟显示早晨06:10时，实际的时间为?
   9. ●分析：由于坏钟每小时慢4分钟，也就是好表每小时走60分钟的情况下，坏表要走56分钟；现在从22:00到早晨06:10，相当于坏钟盘面显示的时间整体经过8小时10分，即490分钟，那么根据比例关系，正常时间应经过$\frac{\mathrm{坏}}{\mathrm{好}}$=$\frac{56}{60}$=$\frac{490}{x}$分钟，x=525分钟，好表此时比坏表多525-490=35分钟，即实际的时间为6点10分+35分=06:45
   10. ●，则 $\frac{\mathrm{快}/\mathrm{慢}\mathrm{钟}\mathrm{经}\mathrm{过}\mathrm{的}\mathrm{时}\mathrm{间}}{\mathrm{标}\mathrm{准}\mathrm{钟}\mathrm{经}\mathrm{过}\mathrm{的}\mathrm{时}\mathrm{间}}$=$\frac{60\pm N}{60}$

例：(2021河北)张爷爷早晨5点多外出晨练，出门时钟表上的时针和分针的夹角是110度，不到6点进门时，钟表上的时针和分针的夹角还是110度，则张爷爷外出时间是多少分钟？

2. A.30
3. B.35
4. C.40
5. D.45

解析

分针每分钟转6度，时针每分钟转0.5度，分针比时针每分钟多转5.5度。张爷爷出发时是5点多，时针和分针的夹角是110度，不到6点进门时，时针和分针的夹角仍是110度，说明出门时分针落后时针110度，进门时分针超过时针110度。因此张爷爷外出期间，分针比时针总共多转110+110=220度，用时220度÷5.5度=40分钟

例：(2014江苏)小张的手表每天快30分钟，小李的手表每天慢20分钟，某天中午12点两人同时把表调到标准时间，则两人的手表再次同时显示标准时间最少需要的天数为：

2. A.24
3. B.36
4. C.72
5. D.114

解析

小张的手表每天快30分钟，则2天快1小时。小李的手表每天慢20分钟，则3天慢1小时。手表再次显示标准时间12∶00，即与标准时间相差12个小时。对于小张，快12小时需要24天。小李慢12小时需要36天。同时显示12∶00最少需要的天数为24和36的最小公倍数，即72天。故正确答案为C。

例：(2019青海28%)一个时钟每小时慢4分钟，照这样计算，早上6:00对准标准时间后，当日晚上该时钟指向8:00时，标准时间是多少？

2. A.20:56
3. B.21:00
4. C.21:30
5. D.21:56

解析

根据题意可知当标准钟走60分钟时，慢钟走56分钟，所以慢钟与标准钟速度之比为56:60。慢钟早上6:00对准标准时间后，到晚上8:00共经过14个小时。假设标准钟经过x小时，则56分钟:60分钟=14小时:x小时，解得x=15小时，所以标准钟从早上6:00开始走了15个小时，即21:00。故正确答案为B。

四、平均数问题

1. 1、基本公式：。比如一个班级的平均分就等于全班的总分除以全班总人数。关键是通过题目条件灵活转换公式，建立方程。
2. 2、加权平均数问题：比如男生的平均分是80分，女生的平均分是90分，整个班级的平均分是85分，求男生和女生的人数比。
   1. 分析：因为整个班级的平均分是男生和女生平均分的加权平均数，权重就是各自的人数。假设男生有m人，女生有n人，那么总分就是80m + 90n，总人数是m + n，平均分是(80m + 90n)/(m + n) = 85。
3. 3、动态变化问题：当数据增减导致平均数变化。
   1. 例如：有n个数，原平均20，移除一数后平均变为22，求移除的数字？
   2. 分析：被移除数 = 20n - 22(n-1) = -2n +22

例：(2012山东)某单位依据笔试成绩招录员工，应聘者中只有1/4被录取。被录取的应聘者平均分比录取分数线高6分，没有被录取的应聘者平均分比录取分数线低10分，所有应聘者的平均分是73分。

1. 问录取分数线是多少分：
2. A.80
3. B.79
4. C.78
5. D.77

解析

6. 方法一：赋值应聘者共4人，则一人录取，3人被淘汰。假定录取分数线为A，则可知被录取者的平均分为A+6，没有被录取的3个人的平均分为A-10分。则根据所有应聘者的平均分是73分和公式（平均数=总数÷总份数）得，$\frac{A+6+3(A-10)}{4}$=73，解得A=79。
7. 方法二：赋值应聘者共4人，则一人录取，3人被淘汰。假定录取分数线为A，则可知被录取者的平均分为A+6，没有被录取的3个人的平均分为A-10分。根据线段法口诀“距离（平均分差）与量（人数）成反比”得，（A+6-73）:[73-（A-10）]=3：1，解A=79得。

例：(2014广州)有七位考官对一位应聘者评分，如果去掉一个最高分和一个最低分，则平均分为7分；如果只去掉一个最高分，则平均分为6.75分；如果只去掉一个最低分，则平均分为7.25分。那么，这位应聘者所得的7个分数中，最高分与最低分的差值为多少分：

1. A.1.5
2. B.2
3. C.3
4. D.3.5

解析

5. 本题考察平均数动态变化问题，设最高分为x，最低分为y，总平均分为z，根据被操作数据 = 原总和 - 新总和可列出三个等式。
6. ①x+y=7z-5×7
7. ②x=7z-6×6.75
8. ③y=7z-6×7.25
9. 根据七位考官所评分的总和7z不变，则根据②③可列式为：6×6.75+x = 6×7.25+y，化简后得：x-y= 6×7.25 - 6×6.75 =3。

五、植树问题

1. 1、开放空间植树问题公式：
   1. （1）两端植树：树的棵数=段数+1=$\frac{\mathrm{总}\mathrm{路}\mathrm{长}}{\mathrm{间}\mathrm{距}}$+1；
   2. （2）环形植树/一端植树：树的棵数=段数=$\frac{\mathrm{总}\mathrm{路}\mathrm{长}}{\mathrm{间}\mathrm{距}}$
   3. （3）楼间植树/两端都不植树：树的棵数=段数-1=$\frac{\mathrm{总}\mathrm{路}\mathrm{长}}{\mathrm{间}\mathrm{距}}$-1；
2. 2、求不移动植树问题：

   1. 例1：道路原来安装（A+1）座路灯，每座路灯之间距离相同，之后安装（B+1）座路灯，每座路灯之间距离仍然相同，问最多有（ ）座原来的路灯不需要移动。

   2. 例2：道路原来每隔X米一座路灯，每座路灯之间距离相同，之后每隔Y米一座路灯，每座路灯之间距离仍然相同，问最多有（ ）座原来的路灯不需要移动。

   3. （1）题型特征：间隔距离发生改变
   4. （2）解题方法：
      1. （1） ：不移动棵数=$\frac{\mathrm{总}\mathrm{长}}{\mathrm{间}\mathrm{距}\mathrm{的}\mathrm{最}\mathrm{小}\mathrm{公}\mathrm{倍}\mathrm{数}}$；
      2. （2）：不移动棵数=两次段数的最大公约数
      3. （3）：两端植树，不移动棵数需要+1，楼间/两端都不植树需要-1。
3. 3、两侧植树最后记得用一侧数量×2

例：(2024广东粉笔模考)一条道路从起点开始，一侧每隔3米种一棵杉树，另一侧每隔4米种一棵松树，最终两侧一共种植702棵树，且每侧起点、终点均有种植，则这条道路的长度为：

1. A.800米
2. B.1200米
3. C.2400米
4. D.2424米

解析

5. 设这条道路的长度为x米。根据两端植树公式：树的棵数=$\frac{\mathrm{总}\mathrm{路}\mathrm{长}}{\mathrm{间}\mathrm{距}}$+1；则杉树种植了$\frac{x}{3}$+1；棵，松树种植了$\frac{x}{4}$+1。
6. 由题意可列式：$\frac{x}{3}$+1+$\frac{x}{4}$+1=702，解得x=1200，故这条道路的长度为1200米。故正确答案为B。

例：(2018重庆选调)某公路的一侧从一端到另一端每隔3米植一棵树，一共挖了49个坑。现在要改成每隔4米植一棵树，那么可以不重新挖的坑共有（ ）个。

1. A.8
2. B.9
3. C.11
4. D.13

解析

5. 根据两端植树公式：树的棵数=$\frac{\mathrm{总}\mathrm{路}\mathrm{长}}{\mathrm{间}\mathrm{距}}$+1；
6. 解法一：根据题意，间隔长度为3米，共挖49个坑，即可种植49棵树，则公路的长度为（49-1）×3=144米。现间隔改为4米，并且求不重新挖的坑 ，那就是求不移动的的树有多少颗，根据两端植树不移动棵数=两次间隔段数的最大公约数 + 1 = $\frac{\mathrm{总}\mathrm{长}}{\mathrm{两}\mathrm{次}\mathrm{间}\mathrm{隔}\mathrm{最}\mathrm{小}\mathrm{公}\mathrm{倍}\mathrm{数}}$ + 1；两次间隔3和4的最小公倍数为12，可得不需要重新挖的坑有$\frac{144}{12}$+1=13个，故正确答案为D。
7. 解法二：间隔长度为3米，共挖49个坑，即可种植49棵树，段数为48，现间隔改为4米，总长不变，此时的段数为144÷4=36，根据两端植树不移动棵数=两次间隔段数的最大公约数 + 1，48和36最大公约数为12，因此不移动棵数=12+1=13

例：(2017广东)施工队给一个周长为40米的圆形花坛安装护栏。刚开始，每隔1米挖一个洞用于埋栏杆。后来发现洞的间隔太远，决定改为每隔0.8米挖一个洞。那么，至少需要再挖几个洞？

1. A.39
2. B.40
3. C.41
4. D.42

解析

5. 圆形花坛，总距离不变，前后两次间隔距离发生变化，判定不移动植树问题。
6. 每隔1米挖一个洞，那原来段数为40，后来每隔0.8米挖一个洞，则段数=40/0.8=50。环形植树问题，不移动棵树=两次间隔段数的最大公约数，40 和 50 的最大公约数为 10，也就是有 10 个洞不需要变化，第二次总共要挖 50 个洞，还需要挖 50-10=40 个。【选 B】

六、天平称重

1. 1、题型：一类是砝码称重；一类是小球称重。

2. 2、砝码称重：给出砝码，要求用最少的次数称出要求的重量。

   1. （1）解题思路：用已有砝码加取得到相应的重量时，该重量作为新的“砝码”使用，以此类推，这样就可以减少称重的次数。

3. 3、小球称重：给出固定数量的小球(或硬币)，要求用最少的次数找出“不规则”小球(或硬币)。

   1. （1）解题思路：使用n次天平最多可以称重3ⁿ枚硬币。
   2. （2）解释：有九枚硬币，其中一枚重量轻，可以将它们分为三组，每组三个。将第一组和第二组放在天平上称重，如果重量相等，说明第三组有问题；如果不相等，说明轻的那一组有问题。剩下有问题组的三枚同理再使用一次天平可以找出。
   3. （3）应用：根据这个结论，我们可以知道，使用2次天平可以最多判定9枚硬币，使用3次可以判定27枚，使用4次可以判定81枚。因此，如果有58枚硬币，至少需要称4次才能确定哪枚是假币。

例：(2012浙江)有一架天平，只有5克和30克的砝码各一个。现在要用这架天平把300克味精平均分成3份，那么至少需要称多少次?

1. A. 3次
2. B. 4次
3. C. 5次
4. D. 6次

解析

5. 把300克味精平均分成3份，即每份100克。
6. 第1次，用30克和5克砝码称出35克味精;
7. 第2次，再35克味精作为砝码，和30克砝码一起称出65克味精，此时已称出100克味精;
8. 第3次，用100克味精作为砝码称出100克味精，还剩100克。
9. 把300克味精平均分为3份。故至少需要3次。因此，选择A选项。

例：(2023深圳21%)小孟有58枚硬币，其中1枚为假，目前已知道真币重量相同，假币重量偏轻。如果小孟手中只有一个天平，则至少称（ ）次一定能找出假币。

1. A. 4
2. B. 5
3. C. 6
4. D. 7

解析

5. 根据天平问题结论：使用n次天平最多可以判定枚3ⁿ硬币，即使用2次天平可以判定最多9枚硬币，使用3次天平可以判定最多27枚硬币，使用4次天平可以判定最多81枚硬币。本题共58枚硬币，则至少要称4次一定能找出假币。
6. 故正确答案为A。

七、空瓶换水

1. 1、题型特征：空瓶换水问题研究的是如何用空瓶换取更多水，这需要我们深入理解交换的逻辑。

2. 2、两种考法：

   1. （1）根据空瓶数和兑换规则，计算最多能喝多少水。
   2. （2）根据喝到的水数和兑换规则，确定至少需要购买多少瓶水。

3. 3、解题思路：明确兑换原则。

   1. 比如：假设7个空瓶可以兑换一瓶水，即7个空瓶=1个空瓶+1瓶水(不算瓶子)，可得出6个空瓶=1瓶水。
   2. 比如：假设7个空瓶可以兑换2瓶水，即7个空瓶=2个空瓶+2瓶水(不算瓶子)，可得出5个空瓶=2瓶水，本质是等价交换。
   3. 结论：m为现有空瓶数，n个空瓶子可兑换k瓶水，则可喝到水数目为 $\frac{m}{n-1}$的。

例：(2019山东选调)某啤酒厂为促销啤酒，开展6个空啤酒瓶换1瓶啤酒的活动，孙先生去年花钱先后买了109瓶该品牌啤酒，期间不断用空啤酒瓶去换啤酒，请问孙先生去年一共喝掉了多少瓶啤酒？

1. A. 127
2. B. 128
3. C. 129
4. D. 130

解析

5. 根据空瓶换酒公式：6个空酒瓶换1瓶啤酒，孙先生花钱买了109瓶啤酒，产生的109个空瓶，最多可喝到 109/（6-1）=21.8瓶酒。
6. 因啤酒数一定是整数，故最多可以喝到21瓶酒。加上花钱买到109瓶酒，一共可以喝到109+21=130瓶酒。
7. 故正确答案为D。

例：(2009浙江)“红星”啤酒开展“7个空瓶换1瓶啤酒”的优惠促销活动。现在已知张先生在活动促销期间共喝掉347瓶“红星”啤酒，问张先生最少用钱买了多少瓶啤酒？

1. A. 296
2. B. 298
3. C. 300
4. D. 302

解析

5. 设张先生最少用钱买了x瓶啤酒。根据空瓶换酒公式，7个空瓶换1瓶啤酒，则个x空瓶最多可以换$\frac{x}{7-1}$瓶啤酒。
6. 则x＋$\frac{x}{6}$=347，解得x≈297.4。
7. 注意此处要取$\frac{x}{6}$的整数部分，不能取297.4的整数部分。
8. 把x≈297.4代入$\frac{x}{6}$≈49.5，取49，则张先生最少用钱买了347-49=298瓶啤酒。

八、比赛问题

1. 其实比赛的问题，如果男生喜欢看球赛，已经很熟悉淘汰赛，循环赛，单循环双循环季后赛。可能女生在这类题可能略微吃亏一点，因为女生看球赛看的少一点，但比赛问题相对来说并不是很难。

2. 1、淘汰赛：

   1. 假设4支队伍来打淘汰赛，第一次第一场应该是2个对2个。第一次打比赛是4个队伍分成2组，两两打谁输了谁回家。剩下2人，最后决出冠军。

   2. 这里面有个，假设50支队伍来打淘汰赛，第一轮打完剩余25支队，这个时候就只能是12组对12组，还剩1支队伍不用打比赛，直接晋级，这就是轮空。第二轮打完剩余12+1=13支队伍。同理分成6组对6组，剩1支队伍不打，第三轮打完剩余6+1=7，同理分成3组对3组，剩1支队伍不打，第四轮打完剩余3+1=4支，这个时候就不需要轮空了。三轮的轮空，可以是同一支队伍，抽签抽到了，就是躺赢，直接躺进4强。

   3. 淘汰赛为了决出冠军要安排多少场比赛？每打一场比赛淘汰掉一个队伍，。

3. 2、循环赛：循环赛要更加的公平一些了，大家都有机会去充分的展示一下自己。

   1. ：每支队伍都要和其他队伍进行一次比赛，N支队伍的总场次是$C_N^2$=N×（N-1）÷ 2
   2. ：每支队伍都要和其他队伍进行两场比赛（分主场和客场），N支队伍的总场次是$A_N^2$=N×（N-1）
   3. 积分制循环赛需额外计算胜负关系或净胜分。

例：(2016广东)某羽毛球赛共有23支队伍报名参赛，赛事安排23支队伍抽签两两争夺下一轮的出线权，没有抽到对手的队伍轮空，直接进入下一轮。那么，本次羽毛球赛一共会出现（ ）次轮空的情况。

1. A. 2
2. B. 3
3. C. 4
4. D. 5

解析

5. 第一轮23支队伍分成11组 VS 11组，还剩1支队伍不用打比赛，需要轮空1次；
6. 第二轮11+1=12支队伍分成6组 VS 6组，不需要轮空；
7. 第三轮6支队伍分成3组 VS 3组；
8. 第四轮3支队伍分成1组 VS 1组；还剩1支队伍不用打比赛，需要轮空1次；
9. 第五轮2支队伍，冠军争夺，不需要轮空。
10. 故正确答案为A。

例：(2022江苏11%)有5支足球队进行单循环比赛，每场比赛胜者得3分，负者不得分，平局双方各得1分。比赛结束后，若5支球队的总得分为25分，冠军得12分，则亚军得：

1. A. 5分
2. B. 6分
3. C. 7分
4. D. 8分

解析

5. 根据题意可得，5支足球队进行单循环比赛，总场次有N×（N-1）÷ 2 = 5×4÷2=10场。
6. 设10场比赛中分出胜负的有x场，平局有y场。
7. 根据每场胜负共得3+0=3分，每场平局共得1+1=2分，总得分为25分，可列方程组：
8. x+y=10……①；3x+2y=25……②。
9. 联立①②，解得x=5，y=5。胜负的有5场，平局有5场。
10. 由于每支球队均要进行4场比赛，冠军总得分为12分，可知冠军4场全胜，则亚军必有1胜（5-4=1）、1负（输于冠军），剩余2场为平局，故总得分为3+0+1+1=5分。
11. 故正确答案为A。

例：(2015新疆)某单位五个科室间举办拔河比赛，每两个科室之间最多比赛一场。其中甲、乙、丙、丁科室分别参加了4、3、2和1场比赛，问已经进行了多少场比赛？

1. A. 8
2. B. 7
3. C. 6
4. D. 5

解析

5. 单循环赛，“甲、乙、丙、丁科室分别参加了4、3、2和1场比赛”。
6. 甲比了4场，甲一定跟另外的4个人都比了，甲不能再比了。即：甲VS乙，甲VS丙，甲VS丁，甲VS戊
7. 丁比1场，丁就是跟甲比的。即：甲VS丁
8. 乙比了3场，丁不能比，只能跟丙跟戊比，即：甲VS乙，乙VS丙，乙VS戊。
9. 丙比了3场，即：甲VS丙，乙VS丙。
10. 去掉重复的，因此，比赛总共有甲VS乙、甲VS丙、甲VS丁、甲VS戊、乙VS戊、乙VS丙6场。
11. 故正确答案为C。

九、过河爬井

过河跳井问题主要考察考生对递推逻辑和效率优化的理解。虽然问题场景不同（过河与跳井），但两者的解题思路和核心公式高度一致，均围绕“净效率”展开计算。

1. 1、过河问题

   1. （1）题型特征：M个人需要过河，船能载N个人，且需要A个人划船，问需要几次才能过河？

   2. （2）公式：；

   3. （3）注意：若结果不是整数，必须向上取整（例如，13.2次需取14次）。

   4. （4）补充规则：若题目要求计算“往返次数”（去程和返程各算一次）；往返次数 = 次数 × 2 - 1（最后一次过河无需返程，因此总次数减少一次）

2. 2、爬井问题

   1. （1）题型特征：蜗牛掉井里，井深为m米，每天爬上n米，又滑下a米，求需跳多少次才能出井？

   2. （2）公式：

   3. （3）注意：结果需向上取整，且最后一次跳跃无需下滑。

例：(2015重庆)一人爬有20个阶梯的楼梯，假定每次向上爬5个阶梯，又下走3个阶梯，问该人需几次能跑到楼梯顶部？

1. A. 7
2. B. 8
3. C. 9
4. D. 10

解析

5. 题干给定楼梯总数，每次上5下3，即爬井类问题，公式为：（m - a）÷（n - a）
6. 代入： (20-3)/(5-3)=17/2=8.5，向上取整，答案为9，选C。

例：(2019安徽阜阳基层特岗)42名游客需要到河对岸去野炊，只有一条小船，每次最多载5人（其中需1人划船），往返一次需6分钟，如果9时整开始渡河，9时20分时，至少有（ ）人还在等待渡河。

1. A. 23
2. B. 24
3. C. 25
4. D. 26

解析

5. 根据题意可知，小船往返一次6分钟最多送4人过河。
6. 9时开始到9时20分，一共20分钟，20÷6=3...2，即经历3个完整往返，且第4个往返已开始2分钟，题目求有多少人等待渡河，设4个往返包含已经过河的人数为M。
7. 运用公式：4=(M-1)/(5-1)，求出M=17。
8. 因此，共有17人已经离开了出发点，因此至少有42-17=25人等待过河。
9. 故正确答案为C。

十、四牛问题

1. 1、题型特征：一般是指多个主体一起过河，但是每次只能两个主体（一般情况下）一起走，且必须有一个主体往返于之间充当“传递者”的作用。

   1. 例：小明骑在牛背上赶牛过河，有甲乙丙丁4头牛。甲牛过河需要1分钟，乙牛需要2分钟，丙牛需要5分钟，丁牛需要6分钟。每次只能骑一头牛，赶一头牛过河。全部牛过河至少需要几分钟？

2. 2、解题技巧：一般的做法是（一则省时间，二则往返花费时间最少），（省时间）；

   1. 解：以上面的例子，最快的一起过去，那么骑甲牛赶乙牛过河。骑甲牛返回。此时花了2+1=3分钟。
   2. 最慢的一起过去，那么骑丙牛赶丁牛过河。最快的充当传递者，骑乙牛返回。此时花了6+2=8分钟。
   3. 此时剩余甲牛和乙牛，过河需要2分钟。全部牛过河至少需要3+8+2=13分钟。
   4. 如果分别是1、4、5、8 分钟，该技巧就不适用了。这类问题要具体问题具体分析。

3. 3、四牛秒杀公式（1301或2111）：1×A＋3×B＋0×C＋1×D或2×A＋1×B＋1×C＋1×D，这个公式表示按照时间排列的ABCD四头牛的过河时间，四牛要取1301和2111中更小的那个。

   1. 解：以上面的例子，代入公式得1×1＋3×2＋0×5＋1×6=13分钟。

4. 4、五牛秒杀公式（23101或31111）：2×A＋3×B＋1×C＋0×D＋1×E或3×A＋1×B＋1×C＋1×D＋1×E，这个公式表示按照时间排列的ABCDE五头牛的过河时间，五牛要取23101和31111中更小的那个。

5. 注意：秒杀公式不是万能的，有的时候牛时间差不多的话就有问题。

例：(2010吉林)毛毛骑在牛背上过河，他共有甲、乙、丙、丁4头牛，甲过河要20分钟，乙过河要30分钟，丙过河要40分钟，丁过河要50分钟。毛毛每次只能赶2头牛过河，要把4头牛都赶到对岸去，最少要多少分钟：

1. A. 190
2. B. 170
3. C. 180
4. D. 160

解析

5. 毛毛骑在牛背上过河，则每次回来都要骑一头牛回来，要想花费时间最少，则过河顺序应该是：
6. 甲、乙牛过河，骑甲过去，花费时间为30+20=50分钟；
7. 丙、丁牛过河，骑乙过去，花费时间为50+30=80分钟；
8. 甲、乙牛过河，花费时间为30分钟，一共花费的时间是50+30+80=160分钟。
9. 故正确答案为D。
10. 利用秒杀公式：1301为1×20＋3×30＋1×50=160分钟，2111为2×20＋1×30＋1×40＋1×50=160分钟，故正确答案为D。

例：(2022联考)某天夜晚发生了地震，小区大面积停电，为了保证安全，所有住户需要迅速转移到楼下;而楼梯已经遭到破坏，一次只能允许2人通过，且需要携带手电照明;某户人家只有一个手电筒可以用，每次下楼的人还要有一人在送回来，已知爸爸下楼需要3分钟，妈妈下楼需要5分钟，奶奶下楼需要7分钟，爷爷下楼需要8分钟，小明下楼只要2分钟，问这家人下楼最少用多少时间?

1. A. 26
2. B. 27
3. C. 28
4. D. 29

解析

1. 23578利用五牛秒杀公式：
2. 23101为2×2＋3×3＋1×5＋8=26分钟
3. 31111为2×3＋1×3＋1×5＋1×7＋1×8=29分钟
4. 取23101和31111中更小的那个。
5. 故正确答案为A。