计算问题

本章节的内容考频比较低。

一、等差数列

  等差数列是指从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数。例如：1，3，5，7，9……。数列的第一项叫做首项。
  相邻两项的差值叫做公差，用 d 表示。前n项和用 Sn 表示

1. 基本公式
   1. ：$a_n$=$a_1+(n-1)d$；其中$a_n$表示第n项的值。
   2. ‌：$a_{n+1}$=$a_n+d$
   3. ：
   4. ①$S_n$=$\frac{(a_1+a_n)\times n}{2}$ = $n{a}_1$+$\frac{n(n-1)}{2}d$
   5. ②$S_n:\{\begin{array}{l}\mathrm{中}\mathrm{间}\mathrm{项}\times n（n\mathrm{为}\mathrm{奇}\mathrm{数}）\\ \frac{\mathrm{中}\mathrm{间}\mathrm{两}\mathrm{项}\mathrm{和}}{2}\times n（n\mathrm{为}\mathrm{偶}\mathrm{数}）\end{array}$

例：(2016河北事业单位) 某剧院共 25 排座位，后一排均比前一排多 2 个座位，已知最后一排有 80 个座位，问这个剧院一共有多少个座位？

1. A.1200
2. B.1300
3. C.1400
4. D.1500

解析

第一排座位数为 32，剧院共有 1400 个座位。因$a_{25}$=80，根据$a_{25}$=$a_1$+(25-1)×2，得$a_1$=32，再根据求和公式$S_n$=$\frac{(a_1+a_n)\times n}{2}$，可得$S_{25}$=$\frac{(32+80)\times 25}{2}$=1400，故答案选C

二、周期循环

1. 1、周期余数：
   1. （1）题型识别：出现循环或周期，问第/过N天/年是星期几。
   2. （2）解题思路：
      1. ①找周期：确定周期的起点和长度
      2. ②算余数：总数（N）÷周期＝周期数量……余数（n）
      3. ③做等价：N项等价于该周期的第n项；N项等价于该周期的过n项。
      4. 注：过N天＝第（N＋1）天
   3. 引例1：1月1日是星期一，问一月份第16天（1月16日）是星期几？
      1. 【解析】题干中出现星期，即存在周期，问某一天是星期几，因此可判断本题为周期余数问题。1月1日是第一天，那么1月16日为第十六天。第16天÷7＝2周……2天；一个周期是周一到周日，两周还是周日，周期结束之后再往下数两天，故一月份第16天为星期二。
   4. 引例2：1月1日是星期一，问再过16天是星期几？
      1. 【解析】题干中出现星期，即存在周期，问再过几天是星期几，因此可判断本题为周期余数问题。过16天，是从1月1号再往下数16天，即题目可转化为求1月17号星期几？第17天÷7＝2周……3天；即一个周期是从周一到周日，周期结束是周日，再往下数3天为周三，故再过16天为星期三。
2. 2、周期相遇：
   1. （1）题型识别：出现多个小周期，求再次相遇。
   2. （2）解题思路：找多个小周期的最小公倍数。
   3. 注：每隔N天＝每（N＋1）天
   4. 引例1：小刘每2天去一次图书馆，小凯每3天去一次图书馆，8月1日两人同去了图书馆，问下次两人同时去图书馆的日期？
      1. 【解析】题干中出现2天去一次，3天去一次，即多个小周期，问下次相遇的日期，因此可判断本题为周期相遇问题。最小公倍数为6（2和3的最小公倍数），也就是每六天两人同去一次图书馆，下次两人同时去图书馆为六天后，8月1日再过6天为8月7日。故下次两人同时去图书馆的日期为8月7日。
3. 3、星期日期推断：
   1. （1）题型识别：给出一段时间内有若干个周几，推算某一天是周几。
   2. （2）解题思路：给出时间段为一个月，则取连续28天，求前（月初）取后，求后（月末）取前。
   3. （3）常用结论：
      1. ①每连续7天，必有周一到周日各1天。
      2. ②每连续28天，必有周一到周日各4天。

例：(2013国考)书架的某一层上有 136 本书，且是按照“3 本小说、4 本教材、5 本工具书、7 本科技书、 3 本小说、4 本教材……”的顺序循环从左至右排列的。问该层最右边的一本是什么书？

2. A.小说
3. B.教材
4. C.工具书
5. D.科技书

解析

一个完整的，所以最小循环周期为 19。136÷19=7……3，所以有 7 个完整的循环周期。还多 3 本，正好多 3 本小说，最后一本为小说。故答案选A

例：(2019新疆事业单位)某政府机关内甲、乙两部门通过门户网站定期向社会发布消息，甲部门每隔两天、乙部门每隔3天有一个发布日，节假日无休。问甲、乙两部门在一个自然月内最多有几天同时为发布日？

2. A.5
3. B.2
4. C.6
5. D.3

解析

根据“甲部门每隔两天、乙部门每隔3天有一个发布日”，即出现多个小周期，问同时为发布日有几天，可判定问题为周期相遇问题。
甲：每隔两天相当于每3天发布一次；乙：每隔3天相当于每4天发布一次；甲乙最小公倍数为12（3和4的最小公倍数为12）；问最多有几天，自然月选取天数最多月份，一个月是31天。
假设甲、乙两部门1号同时发布一次，该自然月最多还有30天。30÷12＝2周……6天；还可以同时发布两次。那么一个自然月内最多共有3天是同时发布的，对应D选项。

例：(2018山西事业单位)根据国务院办公厅部分节假日安排的通知，某年8月份有22个工作日，那么当年的8月1日可能是：

2. A.周一或周三
3. B.周三或周日
4. C.周一或周四
5. D.周四或周日

解析

根据“8月份有22个工作日”，即出现一段时间内有若干个工作日，问8月1日是周几，可判定问题为星期日期推断问题。
8月份一共31天，每连续28天，为四个周期，一个周期有5个工作日，28天有4×5=20个工作日，8月有22个工作日，所以现在还差两个工作日，求前取后，即求8月1日所以把相同的周期（连续的28天）放到后面，前面剩下3天进行分析，要求前三天一共2个工作日，直接代入选项，如果8月1日是周一，1日、2日、3日三天共3个工作日，不符合题干要求，排除A选项，同时也可排除C选项；如果8月1日是周三，前三天共3个工作日，不符合题干要求，排除B选项，只剩下D选项。

三、钟表问题

1. 1、钟面问题：在钟面上，我们主要研究时针和分针之间的关系。这包括时钟的快慢、周期以及时针和分针之间的角度。，这里的“人”是分针和时针。与其他行程问题不同，这里的速度和总路程的计算方式不再是米每秒或千米每小时，而是每分钟走多少角度或多少小格。
   1. 对于正常的时钟，整个钟面为360度，上面有12个大格，每个格子为30度，60个小格，每个小格为6度。
   2. ：走一圈是1小时即60分钟，每分钟走360÷60=6度。
   3. ：走一圈是12小时即720分钟，每分钟走360÷720=0.5度，时针每小时走30度。
   4. 公式：
2. 2、坏钟问题：坏钟问题涉及坏钟时间与标准时间的关系，统称为坏钟问题。。好坏钟问题有两种考查方式：
   1. ①第一种，就是问坏钟经过多久会重新走对？
   2. ●假设有一个钟每天快30分钟，某天中午12点将其调至标准时间，则经过多久会再次显示标准时间？
   3. ●分析：这个钟每天快30分钟，那2天就会快出1个小时；4天快出2个小时.....24天快出12小时..；也就是经过24天后该坏钟会再次显示标准时间；变成了周期循环问题了。
   4. ●那假设有2个坏钟，各有各的坏，当同时给调整为标准时间之后，要再经过多久两个坏钟会同时显示标准时间？
   5. ●既然1个钟是倍数问题，那2个钟就是最小公倍数问题了
   6. ●
   7. ②第二种，就是在坏钟的指导下如何有序安排生活和工作？
   8. ●举个例子：小明家有一个闹钟，由于电池存在问题，所以每个小时都会慢4分钟，现在于晚上22:00时将该钟对成标准的时间，则当这个钟显示早晨06:10时，实际的时间为?
   9. ●分析：由于坏钟每小时慢4分钟，也就是好表每小时走60分钟的情况下，坏表要走56分钟；现在从22:00到早晨06:10，相当于坏钟盘面显示的时间整体经过8小时10分，即490分钟，那么根据比例关系，正常时间应经过$\frac{\mathrm{坏}}{\mathrm{好}}$=$\frac{56}{60}$=$\frac{490}{x}$分钟，x=525分钟，好表此时比坏表多525-490=35分钟，即实际的时间为6点10分+35分=06:45
   10. ●，则 $\frac{\mathrm{快}/\mathrm{慢}\mathrm{钟}\mathrm{经}\mathrm{过}\mathrm{的}\mathrm{时}\mathrm{间}}{\mathrm{标}\mathrm{准}\mathrm{钟}\mathrm{经}\mathrm{过}\mathrm{的}\mathrm{时}\mathrm{间}}$=$\frac{60\pm N}{60}$

例：(2021河北)张爷爷早晨5点多外出晨练，出门时钟表上的时针和分针的夹角是110度，不到6点进门时，钟表上的时针和分针的夹角还是110度，则张爷爷外出时间是多少分钟？

2. A.30
3. B.35
4. C.40
5. D.45

解析

分针每分钟转6度，时针每分钟转0.5度，分针比时针每分钟多转5.5度。张爷爷出发时是5点多，时针和分针的夹角是110度，不到6点进门时，时针和分针的夹角仍是110度，说明出门时分针落后时针110度，进门时分针超过时针110度。因此张爷爷外出期间，分针比时针总共多转110+110=220度，用时220度÷5.5度=40分钟

例：(2014江苏)小张的手表每天快30分钟，小李的手表每天慢20分钟，某天中午12点两人同时把表调到标准时间，则两人的手表再次同时显示标准时间最少需要的天数为：

2. A.24
3. B.36
4. C.72
5. D.114

解析

小张的手表每天快30分钟，则2天快1小时。小李的手表每天慢20分钟，则3天慢1小时。手表再次显示标准时间12∶00，即与标准时间相差12个小时。对于小张，快12小时需要24天。小李慢12小时需要36天。同时显示12∶00最少需要的天数为24和36的最小公倍数，即72天。故正确答案为C。

例：(2019青海28%)一个时钟每小时慢4分钟，照这样计算，早上6:00对准标准时间后，当日晚上该时钟指向8:00时，标准时间是多少？

2. A.20:56
3. B.21:00
4. C.21:30
5. D.21:56

解析

根据题意可知当标准钟走60分钟时，慢钟走56分钟，所以慢钟与标准钟速度之比为56:60。慢钟早上6:00对准标准时间后，到晚上8:00共经过14个小时。假设标准钟经过x小时，则56分钟:60分钟=14小时:x小时，解得x=15小时，所以标准钟从早上6:00开始走了15个小时，即21:00。故正确答案为B。

四、平均数问题

1. 1、基本公式：。比如一个班级的平均分就等于全班的总分除以全班总人数。关键是通过题目条件灵活转换公式，建立方程。
2. 2、加权平均数问题：比如男生的平均分是80分，女生的平均分是90分，整个班级的平均分是85分，求男生和女生的人数比。
   1. 分析：因为整个班级的平均分是男生和女生平均分的加权平均数，权重就是各自的人数。假设男生有m人，女生有n人，那么总分就是80m + 90n，总人数是m + n，平均分是(80m + 90n)/(m + n) = 85。
3. 3、动态变化问题：当数据增减导致平均数变化。
   1. 例如：有n个数，原平均20，移除一数后平均变为22，求移除的数字？
   2. 分析：被移除数 = 20n - 22(n-1) = -2n +22

例：(2012山东)某单位依据笔试成绩招录员工，应聘者中只有1/4被录取。被录取的应聘者平均分比录取分数线高6分，没有被录取的应聘者平均分比录取分数线低10分，所有应聘者的平均分是73分。

1. 问录取分数线是多少分：
2. A.80
3. B.79
4. C.78
5. D.77

解析

6. 方法一：赋值应聘者共4人，则一人录取，3人被淘汰。假定录取分数线为A，则可知被录取者的平均分为A+6，没有被录取的3个人的平均分为A-10分。则根据所有应聘者的平均分是73分和公式（平均数=总数÷总份数）得，$\frac{A+6+3(A-10)}{4}$=73，解得A=79。
7. 方法二：赋值应聘者共4人，则一人录取，3人被淘汰。假定录取分数线为A，则可知被录取者的平均分为A+6，没有被录取的3个人的平均分为A-10分。根据线段法口诀“距离（平均分差）与量（人数）成反比”得，（A+6-73）:[73-（A-10）]=3：1，解A=79得。

例：(2014广州)有七位考官对一位应聘者评分，如果去掉一个最高分和一个最低分，则平均分为7分；如果只去掉一个最高分，则平均分为6.75分；如果只去掉一个最低分，则平均分为7.25分。那么，这位应聘者所得的7个分数中，最高分与最低分的差值为多少分：

1. A.1.5
2. B.2
3. C.3
4. D.3.5

解析

5. 本题考察平均数动态变化问题，设最高分为x，最低分为y，总平均分为z，根据被操作数据 = 原总和 - 新总和可列出三个等式。
6. ①x+y=7z-5×7
7. ②x=7z-6×6.75
8. ③y=7z-6×7.25
9. 根据七位考官所评分的总和7z不变，则根据②③可列式为：6×6.75+x = 6×7.25+y，化简后得：x-y= 6×7.25 - 6×6.75 =3。

五、植树问题

1. 1、开放空间植树问题公式：
   1. （1）两端植树：树的棵数=段数+1=$\frac{\mathrm{总}\mathrm{路}\mathrm{长}}{\mathrm{间}\mathrm{距}}$+1；
   2. （2）环形植树/一端植树：树的棵数=段数=$\frac{\mathrm{总}\mathrm{路}\mathrm{长}}{\mathrm{间}\mathrm{距}}$
   3. （3）楼间植树/两端都不植树：树的棵数=段数-1=$\frac{\mathrm{总}\mathrm{路}\mathrm{长}}{\mathrm{间}\mathrm{距}}$-1；
2. 2、求不移动植树问题：

   1. 例1：道路原来安装（A+1）座路灯，每座路灯之间距离相同，之后安装（B+1）座路灯，每座路灯之间距离仍然相同，问最多有（ ）座原来的路灯不需要移动。

   2. 例2：道路原来每隔X米一座路灯，每座路灯之间距离相同，之后每隔Y米一座路灯，每座路灯之间距离仍然相同，问最多有（ ）座原来的路灯不需要移动。

   3. （1）题型特征：间隔距离发生改变
   4. （2）解题方法：
      1. （1） ：不移动棵数=$\frac{\mathrm{总}\mathrm{长}}{\mathrm{间}\mathrm{距}\mathrm{的}\mathrm{最}\mathrm{小}\mathrm{公}\mathrm{倍}\mathrm{数}}$；
      2. （2）：不移动棵数=两次段数的最大公因数
      3. （3）：两端植树，不移动棵数需要+1，楼间/两端都不植树需要-1。
3. 3、两侧植树最后记得用一侧数量×2

例：(2024广东粉笔模考)一条道路从起点开始，一侧每隔3米种一棵杉树，另一侧每隔4米种一棵松树，最终两侧一共种植702棵树，且每侧起点、终点均有种植，则这条道路的长度为：

1. A.800米
2. B.1200米
3. C.2400米
4. D.2424米

解析

5. 设这条道路的长度为x米。根据两端植树公式：树的棵数=$\frac{\mathrm{总}\mathrm{路}\mathrm{长}}{\mathrm{间}\mathrm{距}}$+1；则杉树种植了$\frac{x}{3}$+1；棵，松树种植了$\frac{x}{4}$+1。
6. 由题意可列式：$\frac{x}{3}$+1+$\frac{x}{4}$+1=702，解得x=1200，故这条道路的长度为1200米。故正确答案为B。

例：(2018重庆选调)某公路的一侧从一端到另一端每隔3米植一棵树，一共挖了49个坑。现在要改成每隔4米植一棵树，那么可以不重新挖的坑共有（ ）个。

1. A.8
2. B.9
3. C.11
4. D.13

解析

5. 根据两端植树公式：树的棵数=$\frac{\mathrm{总}\mathrm{路}\mathrm{长}}{\mathrm{间}\mathrm{距}}$+1；
6. 解法一：根据题意，间隔长度为3米，共挖49个坑，即可种植49棵树，则公路的长度为（49-1）×3=144米。现间隔改为4米，并且求不重新挖的坑 ，那就是求不移动的的树有多少颗，根据两端植树不移动棵数=两次间隔段数的最大公约数 + 1 = $\frac{\mathrm{总}\mathrm{长}}{\mathrm{两}\mathrm{次}\mathrm{间}\mathrm{隔}\mathrm{最}\mathrm{小}\mathrm{公}\mathrm{倍}\mathrm{数}}$ + 1；两次间隔3和4的最小公倍数为12，可得不需要重新挖的坑有$\frac{144}{12}$+1=13个，故正确答案为D。
7. 解法二：间隔长度为3米，共挖49个坑，即可种植49棵树，段数为48，现间隔改为4米，总长不变，此时的段数为144÷4=36，根据两端植树不移动棵数=两次间隔段数的最大公约数 + 1，48和36最大公约数为12，因此不移动棵数=12+1=13

例：(2017广东)施工队给一个周长为40米的圆形花坛安装护栏。刚开始，每隔1米挖一个洞用于埋栏杆。后来发现洞的间隔太远，决定改为每隔0.8米挖一个洞。那么，至少需要再挖几个洞？

1. A.39
2. B.40
3. C.41
4. D.42

解析

5. 圆形花坛，总距离不变，前后两次间隔距离发生变化，判定不移动植树问题。
6. 每隔1米挖一个洞，那原来段数为40，后来每隔0.8米挖一个洞，则段数=40/0.8=50。环形植树问题，不移动棵树=两次间隔段数的最大公约数，40 和 50 的最大公约数为 10，也就是有 10 个洞不需要变化，第二次总共要挖 50 个洞，还需要挖 50-10=40 个。【选 B】