牛吃草问题

牛吃草问题又称为消长问题，是 17 世纪英国伟大的科学家牛顿提出来的。典型牛吃草问题的条件是假设草的生长速度固定不变，不同头数的牛吃光同一片草地所需的天数各不相同，求若干头牛吃这片草地可以吃多少天。由于吃的天数不同，草又是天天在生长的，所以草的存量随着吃的天数不断地变化。

一、基本概念

牧场上有一片青草，每天都生长得一样快。这片青草供给10头牛吃，可以吃22天，或者供给16头牛吃，可以吃10天，期间草每天都在生长。如果供给25头牛吃，可以吃多少天?
“牛吃草”问题主要涉及三个量：草的数量、牛的头数、时间。难点在于随着时间的增长，草也在按不变的速度均匀生长，所以草的总量不确定。
牛吃草问题可以看做追及问题，即草生长速度可以分两部分，牛也可以分两部分，一部分吃新草一部分消耗旧草。速度相减，吃草量也可以相减。把一个整体量分成两个分量去考虑。另外，开采河沙、进水抽水、检票进站等问题本质上也是牛吃草问题。

1、公式：Y=(N-x)×T（）
2、隐含前提：。
3、公式解释 ：
1. 牧场上有一片青草，每天都生长得一样快。这片青草供给10头牛吃，可以吃22天，或者供给16头牛吃，可以吃10天，期间草每天都在生长。如果供给25头牛吃，可以吃多少天?
2. 假设每头牛每天吃的量叫做一份，每头牛每天吃掉一份。我假设这边草场有Y份草，草以均匀的速度增长，每天涨x份草，第一个10头牛可以吃22天，每天减少多少份？10头牛是每天吃10份草，但是每天草又涨了x，实际上每天草的消耗量为10-x。22天正好把所有的草吃完了，也就是总数22×（10-x）①。同理，现在16头牛的话每天吃多少？这个16-x是不是实际上每天消耗量的？那10天吃完也等于总数10×（16-x）②。用两个方程①②一解就可得出草的生长速度。
4、注意：一定要理解题目中谁是牛谁是草是谁。

例1：(2023广东)某牧场的草，匀速生长。如果20头牛来吃，20天可将草吃光；如果10头牛和10只羊来吃，30天可以恰好吃光。已知一头牛每天的吃草量是一只羊的2倍，则30只羊吃该牧场的草，多少天可以吃光？

解析

方法一：设牧场原有草量为Y，设每天生长草量为X，设一只羊每天吃草量为1，则根据“一头牛每天的吃草量是一只羊的2倍”，可知一头牛每天吃草量为1×2=2。由牛吃草公式：Y=（N-X）×T，20头牛来吃可得：Y=（2×20-X）×20······①，10头牛和10只羊来吃可得：（2×10+1×10-X）×30······②，解得X=10，Y=600。设30只羊吃牧场的草，t天可以吃光，则有600=（30-10）×t，解得t=30，即30只羊吃该牧场的草，30天可以吃光。
方法二：由于一头牛每天吃草的量是一只羊的2倍，则10头牛和10只羊吃草的量=10×2+10=30头羊吃草的量，故30只羊吃该牧场的草，30天可以吃完。
故正确答案为C。

例2：(2014河北) 有一个水池，池底不断有泉水涌出，且每小时涌出的水量相同。现要把水池里的水抽干，若用 5 台抽水机 40 小时可以抽完，若用 10 台抽水机 15 小时可以抽完。现在用 14 台抽水机，多少小时可以把水抽完：

解析

假，依题意列式如下
$y = 40 \times （ 5 - x ）$
$y = 15 \times （ 10 - x ）$
解得x=2，y=120，现在用 14 台抽水机，每小时减少（14-2）=12 份水，120/12=10 小时。选 A

例3：(2020浙江) 火车站售票窗口一开始有若干乘客排队购票，且之后每分钟增加排队购票的乘客人数相同。从开始办理购票手续到没有乘客排队，若开放3个窗口，需耗时90分钟，若开放5个窗口，则需耗时45分钟。问如果开放6个窗口，需耗时多少分钟？

解析

例4：(2013国家)某河段中的沉积河沙可供80人连续开采6个月或60人连续开采10个月。如果要保证该河段河沙不被开采枯竭，问最多可供多少人进行连续不间断的开采？（假定该河段河沙沉积的速度相对稳定）

解析

牛吃草问题，设河沙初始量为Y，每月沉积量为x，每人每天的开采量为1，根据题意则有：Y=(80-x)×6=(60-x)×10，解得x=30，即每个月的沉积量可供30人开采；可知当开采人数为30时，才能保证连续不间断地开采。

例5：(2022年四川34%) 某零件生产车间每天产量固定且目前有一定库存，车间用货车将库存零件运往买方仓库。如每天运24车，5天刚好运完；如每天运18车，8天刚好运完。现每天运x车，4天后车间生产效率提高了50%，又用了7天运完存货。问x可能的最小值为：

解析

设目前。根据每天运24车，5天刚好运完；如每天运18车，8天刚好运完。可得：y=(24-a)×5=(18-a)×8，解得a=8，y=80。根据题干“现每天运x车，4天后车间生产效率提高了50%，又用了7天运完存货”，则有： $80 = (x - 8) \times 4 + [x - 8 \times (1 + 50 %)] \times 7$ ，解得x=17.8，故x可能的最小值为18。故正确答案为A。