Skip to content

牛吃草问题

牛吃草问题又称为消长问题,是 17 世纪英国伟大的科学家牛顿提出来的。典型牛吃草问题的条件是假设草的生长速度固定不变,不同头数的牛吃光同一片草地所需的天数各不相同,求若干头牛吃这片草地可以吃多少天。由于吃的天数不同,草又是天天在生长的,所以草的存量随着吃的天数不断地变化。

一、基本概念

  1.   牧场上有一片青草,每天都生长得一样快。这片青草供给10头牛吃,可以吃22天,或者供给16头牛吃,可以吃10天,期间草每天都在生长。如果供给25头牛吃,可以吃多少天?
  2.   “牛吃草”问题主要涉及三个量:草的数量牛的头数时间。难点在于随着时间的增长,草也在按不变的速度均匀生长,所以草的总量不确定
  3.   牛吃草问题可以看做追及问题,即草生长速度可以分两部分,牛也可以分两部分,一部分吃新草一部分消耗旧草。速度相减,吃草量也可以相减。把一个整体量分成两个分量去考虑。另外,开采河沙、进水抽水、检票进站等问题本质上也是牛吃草问题。

二、核心公式

  1. 1、公式:Y=(N-x)×T
  2. 2、隐含前提
  3. 3、公式解释
    1.   牧场上有一片青草,每天都生长得一样快。这片青草供给10头牛吃,可以吃22天,或者供给16头牛吃,可以吃10天,期间草每天都在生长。如果供给25头牛吃,可以吃多少天?
    2. 假设每头牛每天吃的量叫做一份,每头牛每天吃掉一份。我假设这边草场有Y份草,草以均匀的速度增长,每天涨x份草,第一个10头牛可以吃22天,每天减少多少份?10头牛是每天吃10份草,但是每天草又涨了x,实际上每天草的消耗量为10-x。22天正好把所有的草吃完了,也就是总数22×(10-x)①。同理,现在16头牛的话每天吃多少?这个16-x是不是实际上每天消耗量的?那10天吃完也等于总数10×(16-x)②。用两个方程①②一解就可得出草的生长速度。

  4. 4、注意:一定要理解题目中谁是牛谁是草是谁。

三、随笔练习

例1:(2023广东)某牧场的草,匀速生长。如果20头牛来吃,20天可将草吃光;如果10头牛和10只羊来吃,30天可以恰好吃光。已知一头牛每天的吃草量是一只羊的2倍,则30只羊吃该牧场的草,多少天可以吃光?

  1. A.10
  2. B.20
  3. C.30
  4. D.40
解析
  1. 方法一:设牧场原有草量为Y,设每天生长草量为X,设一只羊每天吃草量为1,则根据“一头牛每天的吃草量是一只羊的2倍”,可知一头牛每天吃草量为1×2=2。由牛吃草公式:Y=(N-X)×T,20头牛来吃可得:Y=(2×20-X)×20······①,10头牛和10只羊来吃可得:(2×10+1×10-X)×30······②,解得X=10,Y=600。设30只羊吃牧场的草,t天可以吃光,则有600=(30-10)×t,解得t=30,即30只羊吃该牧场的草,30天可以吃光。
  2. 方法二:由于一头牛每天吃草的量是一只羊的2倍,则10头牛和10只羊吃草的量=10×2+10=30头羊吃草的量,故30只羊吃该牧场的草,30天可以吃完。
  3. 故正确答案为C。

例2:(2014河北) 有一个水池,池底不断有泉水涌出,且每小时涌出的水量相同。现要把水池里的水抽干,若用 5 台抽水机 40 小时可以抽完,若用 10 台抽水机 15 小时可以抽完。现在用 14 台抽水机,多少小时可以把水抽完:

  1. A. 10 小时
  2. B. 9 小时
  3. C. 8 小时
  4. D. 7 小时
解析
  1. ,依题意列式如下
    y=40×5x
    y=15×10x
    解得x=2,y=120,现在用 14 台抽水机,每小时减少(14-2)=12 份水,120/12=10 小时。选 A

例3:(2020浙江) 火车站售票窗口一开始有若干乘客排队购票,且之后每分钟增加排队购票的乘客人数相同。从开始办理购票手续到没有乘客排队,若开放3个窗口,需耗时90分钟,若开放5个窗口,则需耗时45分钟。问如果开放6个窗口,需耗时多少分钟?

  1. A. 36
  2. B. 38
  3. C. 40
  4. D. 42
解析
  1. 。由题意,,解得x = 1,原有人数 =180人。设若开放6个窗口,需耗时分钟,则有:180 = t × (6-1),解得t = 36,A项当选。

例4:(2013国家)某河段中的沉积河沙可供80人连续开采6个月或60人连续开采10个月。如果要保证该河段河沙不被开采枯竭,问最多可供多少人进行连续不间断的开采?(假定该河段河沙沉积的速度相对稳定)

  1. A.25
  2. B.30
  3. C.35
  4. D.40
解析
  1. 牛吃草问题,设河沙初始量为Y,每月沉积量为x,每人每天的开采量为1,根据题意则有:Y=(80-x)×6=(60-x)×10,解得x=30,即每个月的沉积量可供30人开采;可知当开采人数为30时,才能保证连续不间断地开采。

例5:(2022年四川34%) 某零件生产车间每天产量固定且目前有一定库存,车间用货车将库存零件运往买方仓库。如每天运24车,5天刚好运完;如每天运18车,8天刚好运完。现每天运x车,4天后车间生产效率提高了50%,又用了7天运完存货。问x可能的最小值为:

  1. A. 18
  2. B. 19
  3. C. 20
  4. D. 21
解析
  1. 设目前。根据每天运24车,5天刚好运完;如每天运18车,8天刚好运完。可得:y=(24-a)×5=(18-a)×8,解得a=8,y=80。根据题干“现每天运x车,4天后车间生产效率提高了50%,又用了7天运完存货”,则有:80=(x8)×4+[x8×(1+50%)]×7,解得x=17.8,故x可能的最小值为18。故正确答案为A。