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最值问题

  1. 题干特征:题干或问法中出现“至多”、“至少”、“最多”、“最少”、“最大”、“最小”等字眼时

题型一:最不利原则

  1. 1、题型特征:问法中出现“至少……才能……,保证(一定)……”或类似表述。
  2. 2、“保证”与“可能”的区别:“可能”考虑最好的情况。“保证”考虑最不利的情况。
  3. 3、什么叫最不利:通俗的讲就是想象最糟糕的情况,与成功一线之差的情况,然后在这个情况上加 1,则为刚好满足条件的情况。
    1. 不利原则:针对班上的学生进行点名,至少点几个人的姓名,才能点到同一性别的学生?利用最不利原则,就是考虑与成功一线之差的情况,即第一个点到男生,第二个点到女生(或第一个点到女生,第二个点到男生),那么,第三个无论是点到男生还是女生,都能保证有同一性别的学生,所以至少点到3个人的姓名,才能保证点到同一性别的学生。
    2. 有利原则:针对班上的学生进行点名,至少点几个人的姓名,点到同一性别的学生?利用最有利原则,就是考虑最好的情况,第一个点到男生,第二个也正好点到男 生(或第一个点到女生,第二个也正好点到女生),此时就也达到题目的要求,所以至少点2个人的姓名,就可能点到同一性别的学生。
  4. 4、解题方法
    1. :袋子有3种颜色的筷子各10根,至少取多少根才能保证3种颜色的筷子都取?
    2. 分析:与成功一线之差的情况就是两种颜色的筷子都取完了,即20根,还没取到第三种颜色的筷子,这时只要再取一根就能凑足3种颜色,所以至少取20+1=21根筷子。

题型二:构造数列类

  1. 1、题型特征:指若干个数起来的和是一个固定的常数,问法为“最多/少的……至多/少……”“排名第N的至多/少……”。
    1. (1)问你最多的人最少怎么样?
    2. (2)最少的人最多怎么样?
    3. (3)排名第三的人最多能分几个?
  2. 2、解题思路
    1. (1):根据主体大小依次排序;
    2. (2):要使某个值尽可能大,则其他的数应尽可能小;反之,要使某个值尽可能小,则其他的数应尽可能大;
    3. (3):总数一定,全部加和求解答案。
    4. (4):最后计算出来的结果是非整数时,不能四舍五入,需要结合题干的问法进行判断。
      1. ①若问最少,计算后应该向上取整;
      2. ②若问最多,计算后应该向下取整。
      3. 比如:计算结果是7.5,若问最少,则结果应该选8;若问最多,则结果应该选7,这就是向上、向下取整的意思。

题型三:容斥极值类

最值问题中,有一种特殊的构造,涉及到两个及以上的集合的极值,考频不高。如:某兴趣班共有学生45人,其中喜欢音乐、舞蹈、美术的学生分别为36、34、31人,问这三项都喜欢的学生至少有多少人?

  1. 题型特征:多集合题目中,问题中出现,至少...都...的情况下

方法1:多集合反向构造

  1. 第一步。先分别反向求出各集合的补集;例如:不喜欢音乐、舞蹈、美术的学生,分别有9、11、14人;
  2. 第二步。反向的补集进行相加;例如:这9、11、14人毫无重复,则此时“不都喜欢”的最多,有9+11+14=34(人);
  3. 第三步。例如:“不都喜欢”的最多,那么“都喜欢的”最少,有45-34=11(人)。
  4. 这种思路的核心是“让不都喜欢的无任何重复,则不满足要求的最多”。

方法2:正向思路

  1. 1、
  2. 2、
  3. 3、四个集合A、B、C、D满足的至少为A+B+C+D-3U(U为全集)
  4. 这种思路的核心是“总人次-喜欢人次的极限值,则满足要求的最少”。

随笔练习

例1:(2022河北)有200人参加招聘会,其中法学70人,经济学60人,工业设计50人,统计学20人,至少有( )人找到工作才能保证一定有50人的专业相同。

  1. A.167
  2. B.168
  3. C.170
  4. D.175
解析
  1. 题目问“至少······才能保证······”,为最值问题中的最不利构造题型。最不利的情况为每个专业最多只有49人找到工作,则最不利情况数为49(法学)+49(经济学)+49(工业设计)+20(统计学)=167人,在此基础上再任意多一人找到工作就可以满足有50人的专业相同的要求,即至少要有167+1=168人找到工作。故正确答案为B。

例2:(2024年深圳30%)某早餐店推出“10元2件”套餐,顾客花费10元即可在白粥、豆浆、油条、蛋饼、叉烧包、云吞面6个品类中任选2件,既可以选相同的,也可以选不同的。则至少售出( )份该套餐时,一定有2份套餐的搭配完全一致。

  1. A.15
  2. B.16
  3. C.21
  4. D.22
解析
  1. 根据题干“至少······一定有”,可判定本题为最不利构造问题。根据题意可知该套餐中共有6个品类可供选择,若选出的2件为相同品类,共有C61=6种搭配;若选2件为不同品类,共有C62=15种搭配。则最不利情况为每种搭配售出1份,共计6+15=21份。则在此基础上再售出1份,一定有2份套餐的搭配完全一致,故至少售出21+1=22份。故正确答案为D。

例3:(2013国考)某单位2011年招聘了65名毕业生,拟分配到该单位的7个不同部门,假设行政部门分得的毕业生人数比其他部门都多,问行政部门分得的毕业生人数至少为多少名:

  1. A.10
  2. B.11
  3. C.12
  4. D.13
解析
  1. 招聘了65名毕业生是一定的,题干是行政部门分得最多,问行政部门至少有多少毕业生,采用构造数列方法。
    要使行政部门少,则其他部门应尽量多。假设行政部门分了x人,下面来构造一下,行政部门问最少,另外的6个部门是不是要尽可能的多?
  2. 行政部门①————> x人
  3. 部门②————> x-1人
  4. 部门③————> x-1人
  5.   ·
  6.   ·
  7.   ·
  8. 部门⑦————> x-1人
  9. 65名毕业生是常数,因此 x+6×(x-1)=65,解得x=10.143,问最少是往上取,往上去取11,答案选B。

例4:(2012河北)要把 21 棵桃树栽到街心公园里 5 处面积不同的草坪上,如果要求每块草坪必须有树且所栽棵数要依据面积大小各不相同,面积最大的草坪最多栽多少棵桃树? ( )

  1. A.7
  2. B.8
  3. C.10
  4. D.11
解析
  1. 存在“和”。“和”为 21。所求为最大量的最大值。设面积最大的草坪栽了 x 棵,其他四个草坪栽种的桃树棵数分别为 1、2、3、4,则 x+4+3+2+1=21 棵,解得 x=11,答案为D

例5:(2015广东) 阅览室有 100 本杂志。小赵借阅过其中 75 本,小王借阅过 70 本,小刘借阅过 60 本,则三人共同借阅过的杂志最少有多少本?( )

  1. A.5
  2. B.10
  3. C.15
  4. D.20
解析
  1. 方法一:本题出现了三个概念,分别是小赵借阅、小刘借阅、小王借阅,概念间存在交叉关系。,三人都借阅的至少有 75+70+60-2×100=5 本,故答案选A
  2. 方法二:根据题干“三人共同借阅过的杂志最少”,即都满足的最少,判定本题为多集合反向构造。多集合反向构造的解题方法是“反向-求和-作差”,①反向:三个人没有借阅过的杂志分别是100-75=25本、100-70=30本、100-60=40本;②求和:要让共同借阅的杂志最少,就让没有借阅过的杂志不重复,三者相加一共25+30+40=95本;③作差:所以三人共同借阅的杂志最少为100-95=5本,故正确答案为A。

例6:(2022江苏) 某机构对全运会收视情况进行调查,在1000名受访者中,观看过乒乓球比赛的占87%,观看过跳水比赛的占75%,观看过田径比赛的占69%。这1000名受访者中,乒乓球、跳水和田径比赛都观看过的至少有:

  1. A.310人
  2. B.440人
  3. C.620人
  4. D.690人
解析
  1. 根据“都······至少”判定本题为多集合极值问题。乒乓球比赛、跳水比赛、田径比赛看过的分别为1000×87%=870人、1000×75%=750人、1000×69%=690人
  2. 方法一:根据正向思路的公式,三人都借阅的至少有 870+750+690-2×1000=310 人,故答案选A
  3. 方法二:①反向:乒乓球比赛、跳水比赛、田径比赛没有看过的分别为:1000-870=130人、1000-750=250人、1000-690=310人。②求和:乒乓球比赛、跳水比赛、田径比赛没有看过的最多为130+250+310=690人。③作差:乒乓球、跳水和田径比赛都观看过的至少有1000-690=310人。故正确答案为A。