容斥问题

一、两者容斥

  如果被计数的事物有 A、B 两类，那么，先把 A、B 两个集合的元素个数相加，发现即是 A 类又是 B 类的部分重复计算了一次，所以要减去。如下图所示。

I=A+B-A‌∩B+非A且非B

   如果题目中有提到类似“每人参加了至少一项”的表述，说明都不满足数=0、非A且非B=0
  

二、三者容斥

I=A+B+C-A‌∩B-B‌∩C-A‌∩C+A‌∩B‌∩C+非A且非B且非C

  ：A+B+C-(A∩B)-(A∩C)-(B∩C)+(A∩B∩C)= 总数－都不满足

减3次两集合交集，也把A∩B∩C部分减了三次，所以要加一次A∩B∩C

   ：A+B+C－满足两项－2×满足三项=总数－都不满足

A+B+C里面包含了满足三项的值三次，所以要减去2次

  如果题目中有提到类似“每人参加了至少一项”的表述，说明都不满足数=0、非A且非B且非C=0
  解题步骤分三步走：①画文氏图；②弄清楚图形中没一部分所代表的含义；③代入公式

三、容斥的极值问题

最值问题中，有一种特殊的构造，涉及到两个及以上的集合的最值，如：某兴趣班共有学生45人，其中喜欢音乐、舞蹈、美术的学生分别为36、34、31人，问这三项都喜欢的学生至少有多少人？

多集合反向构造

1. 第一步：反向。先分别反向求出各集合的补集；例如：不喜欢音乐、舞蹈、美术的学生，分别有9、11、14人；
2. 第二步：加和。反向的补集进行相加；例如：这9、11、14人毫无重复，则此时’不都喜欢’的最多，有9+11+14=34（人）；
3. 第三步：做差。例如：’不都喜欢‘的最多，那么‘都喜欢的’最少，有45－34=11（人）。
4. 这种思路的核心是“让不都喜欢的无任何重复，则不满足要求的最多”。

正向思路

1. 最小值
   1. 两个集合A、B交集的最小值为A+B-U（U为全集）
   2. 三个集合A、B、C交集的最小值为A+B+C-2U（U为全集）
   3. 四个集合A、B、C、D交集的最小值为A+B+C+D-3U（U为全集）
2. 最大值
   1. N个集合交集的最大值均为较小的集合
3. 这种思路的核心是“总人次－喜欢人次的极限值，则满足要求的最少”。

四、随笔练习

1. 例1：(2016年河南省) 某公司组织歌舞比赛，共 68 人参赛。其中，参加舞蹈比赛的有 12 人，参加歌唱比赛的有 18 人，45 人什么比赛都没有参加。问同时参加歌舞比赛的有多少人？ （ ）
2. A.7
3. B.8
4. C.9
5. D.10

：。所以两项比赛都参加的人数为 12+18-（68-45）=7 人。故答案为A

1. 例2：(2011年国家) 某市对 52 种建筑防水卷材产品进行质量抽检，其中有 8 种产品的低温柔度不合格，10 种产品的可溶物含量不达标，9 种产品的接缝剪切性能不合格，同时两项不合格的有 7 种，有 1 种产品这三项都不合格。则三项全部合格的建筑防水卷材产品有多少种？ （ ）
2. A.34
3. B.35
4. C.36
5. D.37

：在将低温柔度不合格、可溶物含量不达标、接缝剪切性能不合格的产品数相加时，两项同时不合格的产品数被计算了两次，；三项同时不合格的产品数被计算了三次，。设三项全合格的建筑防水卷材产品有 x 种，根据容斥原理可得，8+10+9-7-2×1+x=52，解得 x=34。故答案为A

1. 例3：(2018年江西) 某高校做有关碎片化学习的问卷调查，问卷回收率为90%，在调查对象中有180人会利用网络课程进行学习，200人利用书本进行学习，100人利用移动设备进行碎片化学习，同时使用三种方式学习的有50人，同时使用两种学习方式的有20人，不存在三种学习都不用的人。那么这次共发放了多少份问卷？
2. A.370
3. B.380
4. C.390
5. D.400

：这是一道。注意题目中提到：不存在三种学习都不用的人。所以在的过程中，非A且非B且非C=0。代入三集合容斥问题非标准形式得到：总人数=180+200+100-20-2*50，总人数=360，总问卷=360/90%=400。答案选D。

1. 例4：(2015年广东省) 阅览室有 100 本杂志。小赵借阅过其中 75 本，小王借阅过 70 本，小刘借阅过 60 本，则三人共同借阅过的杂志最少有多少本？（ ）
2. A.5
3. B.10
4. C.15
5. D.20

：方法一：本题出现了三个概念，分别是小赵借阅、小刘借阅、小王借阅，概念间存在交叉关系。，三人都借阅的至少有 75+70+60-2×100=5 本，故答案选A

方法二：根据题干“三人共同借阅过的杂志最少”，即都满足的最少，判定本题为多集合反向构造。多集合反向构造的解题方法是“反向-求和-作差”，①反向：三个人没有借阅过的杂志分别是100-75=25本、100-70=30本、100-60=40本；②求和：要让共同借阅的杂志最少，就让没有借阅过的杂志不重复，三者相加一共25+30+40=95本；③作差：所以三人共同借阅的杂志最少为100-95=5本，故正确答案为A。