余数特性

一、基本公式

被除数÷除数=商……余数（0≤余数<除数)
被除数=除数×商+余数

二、同余定理

同余问题定义在【带入排除】章节已详细讲解，点击即可跳转。在这章定义快速过一遍。

“一个数除以 4 余 1，除以 5 余 1，除以 6 余 1”，这个数是 60n+1；
“一个数除以 4 余 3，除以 5 余 2，除以 6 余 1”，这个数是 60n+7；
“一个数除以 4 余 3，除以 5 余 4，除以 6 余 5”，这个数是 60n-1；

在题干中看到“某物按 x 个分组还余 y 个”的条件，这种分组、分类有余的题目就是典 型的余数特性题目。

三、随笔练习

1. 例1：一群学生分小组在户外活动，如 3 人一组还多 2 人，5 人一组还多 3 人，7 人一组还多 4 人，则该群学生的最少人数是（ ）
2. A.23
3. B.53
4. C.88
5. D.158

：即该数需满足。A 项：23-4=19，不能被 7 整除排除；B 项：53-2=51，53-3=50，53-4=49，分别能被 3，5，7 整除，符合题干要求的是 B 选项。故正确答案为 B。

1. 例2：一个盒子里有乒乓球 100 多个，如果每次取 5 个出来最后剩 4 个，如果每次取 4 个最后剩 3 个，如果每次取 3 个最后剩 2 个，那么如果每次取 12 个最后剩多少个？（ ）
2. A.11
3. B.10
4. C.9
5. D.8

：由题干条件“每次取 5 个最后剩 4 个”可知，因此乒乓球的总数 =60n-1。由于乒乓球有 100 多个，即 100 ＜ 60n-1 ＜ 200，所以解得 n=2 或 3。当 n=2 时，乒乓球的数量 =60×2-1=119，每次取 12 个最后会剩余 11 个；当 n=3 时，乒乓球的数量 =60×3-1=179，每次取 12 个最后也会剩余 11 个。故本题选 A。

1. 例3：学生在操场上列队做操，只知人数在 90-110 之间。如果排成 5 排则少 2 人；排成 7 排则少 4 人；则学生人数是多少 ?（ ）
2. A.102
3. B.98
4. C.104
5. D.108

：人数除以 5 余 3，除以 7 余 3，利用“”，5×7=35，这个数为 35n+3，n=3 时人数为 35×3+3=108 人，故本题选 D。