余数特性

一、基本公式

1. 被除数÷除数=商……余数（0≤余数<除数)
2. 被除数=除数×商+余数

二、同余定理

1. 同余问题定义在【带入排除】章节已详细讲解，点击即可跳转。在这章定义快速过一遍。

2. “一个数除以 4 余 1，除以 5 余 1，除以 6 余 1”，这个数是 60n+1；
   
3. “一个数除以 4 余 3，除以 5 余 2，除以 6 余 1”，这个数是 60n+7；
   
4. “一个数除以 4 余 3，除以 5 余 4，除以 6 余 5”，这个数是 60n-1；
   

5. 在题干中看到“某物按 x 个分组还余 y 个”的条件，这种分组、分类有余的题目就是典型的余数特性题目。

三、余数特性

1. 可加性、可减性、可乘性(常用除以3、9等数据)

   1. ①可加性：28+16=44，44除以3余2，可以拆分为28除以3余1，16除以3余1，余1+余1=余2；

   2. ②可减性：28-16=12，12除以3余0，可以拆分为28除以3余1，16除以3余1，余1-余1=余0;

   3. ③可乘性：28×16=448，448除以3余1，可以拆分为28除以3余1,16除以3余1，余1×余1=余1;

四、随笔练习

例：(2019江苏)一群学生分小组在户外活动，如 3 人一组还多 2 人，5 人一组还多 3 人，7 人一组还多 4 人，则该群学生的最少人数是（ ）

1. A.23
2. B.53
3. C.88
4. D.158

解析

5. 即该数需满足。A 项：23-4=19，不能被 7 整除排除；B 项：53-2=51，53-3=50，53-4=49，分别能被 3，5，7 整除，符合题干要求的是 B 选项。故正确答案为 B。

例2：(2019山东选调)一个盒子里有乒乓球 100 多个，如果每次取 5 个出来最后剩 4 个，如果每次取 4 个最后剩 3 个，如果每次取 3 个最后剩 2 个，那么如果每次取 12 个最后剩多少个？（ ）

1. A.11
2. B.10
3. C.9
4. D.8

解析

5. 由题干条件“每次取 5 个最后剩 4 个”可知，因此乒乓球的总数 =60n-1。由于乒乓球有 100 多个，即 100 ＜ 60n-1 ＜ 200，所以解得 n=2 或 3。当 n=2 时，乒乓球的数量 =60×2-1=119，每次取 12 个最后会剩余 11 个；当 n=3 时，乒乓球的数量 =60×3-1=179，每次取 12 个最后也会剩余 11 个。故本题选 A。

例3：(2009江西)学生在操场上列队做操，只知人数在 90-110 之间。如果排成 5 排则少 2 人；排成 7 排则少 4 人；则学生人数是多少 ?（ ）

1. A.102
2. B.98
3. C.104
4. D.108

解析

5. 方法一：人数除以 5 余 3，除以 7 余 3，利用“”，5×7=35，这个数为 35n+3，n=3 时人数为 35×3+3=108 人，故本题选 D。
6. 方法二：由题意可知，学生人数可以被3整除，排除B、C两项，剩二代一：代入A项：（102+2）÷5 不等于整数，不符合题意，排除；故只剩D项当选。验证D项：（108+2）÷5=22，（108+4）÷7=16，正确。

例4：(2019联考)某次田径运动会中，选手参加各单项比赛计入所在团体总分的规则为：一等奖得9分，二等奖得5分，三等奖得2分。甲队共有10位选手参赛，均获奖。现知甲队最后总分为61分，问该队最多有几位选手获得一等奖？

1. A.3
2. B.4
3. C.5
4. D.6

解析

5. 设获得一等奖的有x位选手、获得二等奖的有y位选手、获得三等奖的有z位选手。根据共10位选手参赛和总分为61分，可列不定方程组：x + y + z = 10①，9x + 5y + 2z = 61②，②-①×2可得：7x + 3y = 41。，41除以3余2，3y除以3余0，，因为7除以3是余1，因此x除以3要余2（余1×余2=余2），只有C选项满足。

例5：(2019湖北选调)某足球比赛售出40元、80元、120元门票共2000张，其中80元的门票数是120元的门票数的2倍，比赛门票收入共12万元。则40元门票售出多少张?

1. A.1000
2. B.1150
3. C.1200
4. D.1250

解析

5. 设40元的门票有x张，120元的门票有y张，则80元的门票有2y张，根据总数为2000张可以列出等式，x+3y=2000，3y除以3余0，2000除以3余2，根据余数的可加性可分析出x除以3余2，即余2+余0=余2。
6. A除以3余1，排除;
7. B除以3余1，排除;
8. C除以3余0排除;
9. D除以3余2，正确，因此选择D选项。