余数特性

1. 题干特征：每人、平均、多几个、少几个
2. 余数特性一般结合倍数特征进行解题

一、基本公式

1. 1、余数基本关系式：被除数 ÷ 除数 = 商……余数（0≤余数<除数)

2. 2、余数基本恒等式：被除数 = 除数 × 商 + 余数

二、同余定理

1. 同余问题定义在【带入排除】章节已详细讲解，点击即可跳转。在这章定义快速过一遍。

2. 1、余同加余：“一个数除以 4 余 1，除以 5 余 1，除以 6 余 1”，这个数是 60n+1；

3. 2、和同加和：“一个数除以 4 余 3，除以 5 余 2，除以 6 余 1”，这个数是 60n+7；

4. 3、差同减差：“一个数除以 4 余 3，除以 5 余 4，除以 6 余 5”，这个数是 60n-1；

5. 在题干中看到“某物按 x 个分组还余 y 个”的条件，这种分组、分类有余的题目就是典型的余数特性题目。

三、余数特性(常用除以3、9等数据)

1. 1、可加性：28+16=44，44除以3余2，可以拆分为28除以3余1，16除以3余1，余1+余1=余2；

2. 2、可减性：28-16=12，12除以3余0，可以拆分为28除以3余1，16除以3余1，余1-余1=余0;

3. 3、可乘性：28×16=448，448除以3余1，可以拆分为28除以3余1,16除以3余1，余1×余1=余1;

四、随笔练习

例1：(2019江苏) 一群学生分小组在户外活动，如 3 人一组还多 2 人，5 人一组还多 3 人，7 人一组还多 4 人，则该群学生的最少人数是（ ）

1. A.23
2. B.53
3. C.88
4. D.158

解析

5. 即该数需满足减 2 为 3 的倍数，减 3 为 5 的倍数，减 4 为 7 的倍数。
6. A 项：23-4=19，不能被 7 整除排除；
7. B 项：53-2=51，53-3=50，53-4=49，分别能被 3，5，7 整除，符合题干要求的是 B 选项。
8. 故正确答案为 B。

例2：(2014天津) 有一支参加阅兵的队伍正在进行训练，这支队伍的人数是5的倍数且不少于1000人，如果按每横排4人编队，最后少3人；如果按每横排3人编队，最后少2人；如果按每横排2人编队，最后少1人。请问，这支队伍最少有多少人：

1. A.1045
2. B.1125
3. C.1235
4. D.1345

解析

5. 根据题干含义。
6. 第一个条件：“如果按每横排4人编队，最后少3人”，则意为队伍总人数÷4余1，观察选项C，排除；
7. 第二个条件：“如果按每横排3人编队，最后少2人”，则意为队伍总人数÷3余1，观察选项B，排除；
8. 第三个条件：“如果按每横排2人编队，最后少1人”，则意味队伍总人数÷2余1，A、D两项均满足要求，则我们选出最小的一个即可，A项当选。
9. 故正确答案为A。

例3：(2009江西) 学生在操场上列队做操，只知人数在 90-110 之间。如果排成3排则不多不少；如果排成 5 排则少 2 人；排成 7 排则少 4 人；则学生人数是多少 ?（ ）

1. A.102
2. B.98
3. C.104
4. D.108

解析

5. 方法一：人数除以 5 余 3，除以 7 余 3，利用“最小公倍数作周期，同余加余”，5×7=35，这个数为 35n+3，n=3 时人数为 35×3+3=108 人，故本题选 D。
6. 方法二：由题意可知，学生人数可以被3整除，排除B、C两项，剩二代一：代入A项：（102+2）÷5 不等于整数，不符合题意，排除；故只剩D项当选。验证D项：（108+2）÷5=22，（108+4）÷7=16，正确。

例4：(2019联考) 某次田径运动会中，选手参加各单项比赛计入所在团体总分的规则为：一等奖得9分，二等奖得5分，三等奖得2分。甲队共有10位选手参赛，均获奖。现知甲队最后总分为61分，问该队最多有几位选手获得一等奖？

1. A.3
2. B.4
3. C.5
4. D.6

解析

5. 设获得一等奖的有x位选手、获得二等奖的有y位选手、获得三等奖的有z位选手。
6. 根据共10位选手参赛和总分为61分，可列不定方程组：
7. ①x + y + z = 10
8. ②9x + 5y + 2z = 61
9. ②-①×2可得：7x + 3y = 41。
10. 通过余数特性的可减性分析，41除以3余2，3y除以3余0，再通过余数特性的可乘性分析7x除以3余2，因为7除以3是余1，因此x除以3要余2（余1×余2=余2），只有C选项满足。

例5：(2024广东) 某社区计划组织志愿者为社区内的独居老人提供服务。按已有志愿者的数量，如果每位志愿者服务10位老人，则有5位老人无人提供服务；如果增加2位志愿者，则每位志愿者最多服务8位老人就能为所有老人提供服务。那么该社区最多有（ ）位独居老人。

1. A.50
2. B.55
3. C.60
4. D.65

解析

5. 本题为余数问题，根据“如果每位志愿者服务10位老人，则有5位老人无人提供服务”可知（志愿者人数-5）能被10整除，排除A、C。
6. 剩余2个选项用代入，题干所求为最多多少人，故从最大项依次代入。
7. D项：当独居老人为65人时，志愿者人数为（65-5）÷10=6人，按照题意增加2人后变为6+2=8人，8×8=64<65，服务人员数＜独居老人数，排除；
8. B项：当独居老人为55人时，志愿者人数为（55-5）÷10=5人，按照题意增加2人后变为5+2=7人，7×8=56＞55，满足题干所有条件，当选。
9. 故正确答案为B。

例6：(2019湖北选调) 某足球比赛售出40元、80元、120元门票共2000张，其中80元的门票数是120元的门票数的2倍，比赛门票收入共12万元。则40元门票售出多少张?

1. A.1000
2. B.1150
3. C.1200
4. D.1250

解析

5. 设40元的门票有x张，120元的门票有y张，则80元的门票有2y张，根据总数为2000张可以列出等式，x+3y=2000，3y除以3余0，2000除以3余2，根据余数的可加性可分析出x除以3余2，即余2+余0=余2。
6. A除以3余1，排除;
7. B除以3余1，排除;
8. C除以3余0排除;
9. D除以3余2，正确，因此选择D选项。

例7：(2014黑龙江) 用1到7的数字组成一个六位数密码，密码中每个数字只使用一次，在所有可能的密码排列中，能被3整除的数字占所有可能的排列数的比重为：

1. A.$\frac{1}{6}$
2. B.$\frac{2}{7}$
3. C.$\frac{3}{7}$
4. D.$\frac{1}{3}$

解析

5. 根据3的整除特性，所有数位数字之和能够被3整除则可被3整除。1+2+3+4+5+6+7=28，28÷3...1，如果密码能够被 3 整除，根据余数特性可减性，则需在这7位数中去掉一个除以3余1的数，1、4、7符合。
6. 从7个数字当中选出6个全排列，则有$A_7^6$种方式；密码当中不含1或不含4或不含7，假设不含1有$A_6^6$种方式，现在有三个数字则一共有3×$A_6^6$种方式。
7. 则能被3整除的数字占所有可能的排列数的比重为：3×$A_6^6$÷$A_7^6$=$\frac{3}{7}$
8. 故正确答案为C。

例8：(2019山东选调) 一个盒子里有乒乓球 100 多个，如果每次取 5 个出来最后剩 4 个，如果每次取 4 个最后剩 3 个，如果每次取 3 个最后剩 2 个，那么如果每次取 12 个最后剩多少个？（ ）

1. A.11
2. B.10
3. C.9
4. D.8

解析

5. 由题干条件“每次取 5 个最后剩 4 个”可知乒乓球的总数加 1 是 5 的倍数，同理，乒乓球的总数加 1 是 4 的倍数，乒乓球的总数加 1 是 3 的倍数，即乒乓球的总数加 1 应同时是 5、4、3 的倍数，因此乒乓球的总数 =60n-1。
6. 由于乒乓球有 100 多个，即 100 ＜ 60n-1 ＜ 200，所以解得 n=2 或 3。
7. 当 n=2 时，乒乓球的数量 =60×2-1=119，每次取 12 个最后会剩余 11 个；
8. 当 n=3 时，乒乓球的数量 =60×3-1=179，每次取 12 个最后也会剩余 11 个。
9. 故本题选 A。