分数数列

   分数数列属于高频考点，近年来几乎所有考查数字推理的省市，如江苏、广东等都会涉及。此类题型易于识别，分子、分母规律变形不多，我们只要掌握方法，就可在考场上快速地解答此类题型，建议重点掌握。

一、题型特征

1. 题干中含有多个分数，一般可看成分数数列。

二、解题方法

1. 1、整体趋势相同（分子、分母都均匀变大或减小）：直接观察规律，。

2. 2、趋势出现波动（某一项分子、分母变小或变大）：对变化项进行，再结合整体趋势相同的规律观察。反约分的目的是把数列变成整体趋势相同。

   1. 4/8 → 1/2是约分；1/2 → 2/4 = 3/6 = 4/8.....，这个过程就是反约分。

3. 3、当分数的分子或分母很容易化成一致时（公倍数比较明显）：将其化为相同的分子或分母，再看分子或分母规律。

三、注意事项

1. 1、 有时候会出现两两分数做差或相乘出规律，及基础递推数列，考试的时候常常被忽略，因此不要只局限于分子分母的规律。

2. 2、 分数数列中常常有仅通过分子或分母即可锁定答案的情况，在考场上遇到此类题目时，我们不用再去找剩余的分母或分子的规律，这样可以提高解题速度、节约时间。

四、随笔练习

例1：（2018吉林）$\frac{3}{2}、\frac{8}{5}、\frac{21}{13}、$()、$\frac{144}{89}$

1. A.$\frac{16}{28}$
2. B.$\frac{56}{39}$
3. C.$\frac{21}{35}$
4. D.$\frac{55}{34}$

解析

5. 题干和选项全部都是分数，特征明显，为分数数列。先观察整体趋势，整体趋势为分子、分母均逐渐变大，直接观察规律求解。
6. 先观察分子、分母单独成规律，发现无规律，看相邻分子分母之间的联系，发现，故所求项的分母为21+13=34，分子为34+21=55，即所求项为$\frac{55}{34}$
7. 故正确答案为D。

例2：（2015广东） $\frac{2}{5}$ 、$\frac{3}{10}$ 、$\frac{7}{30}、$ $\frac{23}{210}、$ ( )

1. A.$\frac{31}{967}$
2. B.$\frac{35}{1208}$
3. C.$\frac{159}{2282}$
4. D.$\frac{187}{4830}$

解析

5. 题干和选项全部都是分数，特征明显，为分数数列。先观察整体趋势，整体趋势为分子逐渐变大，分母倍数关系明显，从分母的倍数关系入手找规律求解。
6. 方法一：先看分母，依次用后项除以前项得到倍数为2、3、7，恰好分别为前一项的分子，可知规律为2×5=10、3×10=30、7×30=210，即每一项分子与分母的乘积为下一项的分母，故所求项分母为23×210=4830。结合选项，只有D项分母为4830且其余选项分母均不是4830的约数，因此符合条件的只有D项。
7. 方法二：先看分子，观察可知5-2=3、10-3=7、30-7=23，即每一项分母与分子之差为下一项的分子，故所求项分子为210-23=187。结合选项，只有D项分子为187且其余选项分子均不是187的约数，因此符合条件的只有D项。

例3：（2020江苏） $\frac{32}{7}、$ 4、 $\frac{128}{25}$、$\frac{128}{17}、\frac{512}{43}$、 ()

1. A.6
2. B.$\frac{256}{13}$
3. C.$\frac{512}{19}$
4. D.$\frac{512}{53}$

解析

5. 题干和选项中的数字大多数是分数，特征明显，为分数数列。先观察整体趋势，除了第二项、第四项之外整体趋势相同；
6. 再分别观察分子、分母，分子规律很明显，都是2的幂次数，故将第二项和第四项，将其分子分别化为$2^6$和$2^8$。
7. 由此确定第二项和第四项，再观察规律求解本题。原数列可转化为$\frac{32}{7}、$ $\frac{64}{16}、$ $\frac{128}{25}$、$\frac{256}{34}$、$\frac{512}{43}$、（）。
8. 其分子依次为32、64、128、256、512、（），此数列是公比为2的等比数列，故题干所求项的分子为512×2=1024；其分母依次为7、16、25、34、43、（），此数列是公差为9的等差数列，故题干所求项的分母为43+9=52。
9. 故题干所求项为$\frac{1024}{52}$ = $\frac{256}{13}$ 。
10. 故正确答案为B。

例4：（2014广东）1、 $\frac{27}{15}、$ 2.6、 $\frac{51}{15}$、( )

1. A.$\frac{21}{15}$
2. B.$\frac{21}{5}$
3. C.5.2
4. D.6.2

解析

5. 题干有两项是分数且选项出现分数，特征明显，为分数数列。先观察整体趋势，有整数有小数，考虑反约分。
6. 题干两个分数的分母都是15且选项也出现分母为15的分数，故可以考虑先反约分，，再观察分子是否有规律，以此求解本题。
7. 先反约分，将题干各项都化为分母是15的分数，得到新数列： $\frac{15}{15}$、 $\frac{27}{15}$ 、$\frac{39}{15}$ 、$\frac{51}{15}$、（）。
8. 观察分子：15、27、39、51、（），后项减前项，结果均为12，故分子是公差为12的等差数列，则其下一项应为51+12=63，故题干所求项应为$\frac{63}{15}$，约分后为$\frac{21}{5}$，对应B项。
9. 故正确答案为B

例5：（2018浙江） $\frac{1}{16}$ $、\frac{1}{7}、\frac{1}{4}、\frac{2}{5}、$ $\frac{5}{8}$、()

1. A.$\frac{6}{7}$
2. B.1
3. C.$\frac{3}{2}$
4. D.2

解析

5. 题干中数字全部是分数，特征明显，为分数数列。
6. 先观察整体趋势，趋势出现波动，优先反约分；为了方便反约分，。
7. 由此确定本题规律。
8. 原数列可转化为$\frac{1}{16}、$ $\frac{2}{14}$、 $\frac{3}{12}$、 $\frac{4}{10}、\frac{5}{8}$ 、（），观察发现分母构成的数列是公差为-2的等差数列，分子构成的数列是公差为1的等差数列，所以题干所求项为$\frac{5+1}{8+(-2)}=\frac{6}{6}=1。$ 故正确答案为B。

例6：（2017江苏） $\frac{1}{3}$ 、$\frac{1}{2}$、$\frac{3}{7}、\frac{5}{11}、\frac{4}{9}$

1. A.$\frac{13}{29}$
2. B.$\frac{11}{27}$
3. C.$\frac{9}{25}$
4. D.$\frac{15}{31}$

解析

5. 题干和选项全部都是分数，特征明显，为分数数列。
6. 先观察整体趋势，第二项分母变小，第五项分子、分母均最大，这两项考虑反约分；又因第二项处于数列中间，反约分第二项之后即可通过前四项找出规律，再结合第五项求解。
7. 第二项反约分之后，其分子要介于第一项和第三项分子之间，只能为2，故反约分之后前四项为$\frac{1}{3}$、$\frac{2}{4}$、$\frac{3}{7}$、$\frac{5}{11}$。
8. 分子、分母分开看，观察分子发现， 1+2=3、2+3=5；观察分母发现， 3+4=7、4+7=11，分子和分母的规律均为前两项之和等于第三项。
9. 由此规律推出第五项分子为3+5=8，分母为7+11=18，则第五项应为$\frac{8}{18}=\frac{4}{9}$，与原数列第五项吻合，故此规律成立。
10. 则题干所求项分子应为5＋8=13，分母应为11+18=29，即题干所求项为$\frac{13}{29}$。
11. 故正确答案为A。

例7：（2024广东） $\frac{8}{15}$ 、$\frac{2}{5}$、$\frac{3}{10}$ 、 $\frac{9}{40}$ 、（）、 $\frac{81}{640}$

1. A.$\frac{12}{55}$
2. B.$\frac{21}{80}$
3. C.$\frac{27}{160}$
4. D.$\frac{49}{240}$

解析

5. 数列均为分数，考虑分数数列。
6. 先观察整体趋势，第一项趋势出现波动，优先反约分；为了方便反约分，观察分子分母，发现第三、四、六项分子3、9、81递增并且都跟3是倍数关系，因此反约分尽量把分子变为3的倍数。
7. 第二项分子为2，为了满足递增并且跟3是倍数关系，因此只能转化为$\frac{1}{\frac{5}{2}}$。
8. 第一项分子为8，满足小于前一项分子1且跟3是倍数关系，因此只能转化为$\frac{\frac{1}{3}}{\frac{5}{8}}$。
9. 分子部分：1/3、1、3、9、（）、81，可发现为公比为3的等比数列，则所求项的分子为9×3=27。
10. 分母部分：5/8、5/2、10、40、（）、640，是公比为4的等比数列，则所求项的分母为40×4=160，故所求项= 27/160。
11. 故正确答案为C。

例8：（2013广东） 1 、$\frac{5}{6}$、$\frac{7}{10}$ 、 $\frac{3}{5}$ 、$\frac{8}{15}$、 （）

1. A.1/5
2. B.1/4
3. C.1/3
4. D.1/2

解析

5. 观察发现分母或者分子没有明显递增或递减规律，分母的公倍数比较明显，(6、10、5、15的公倍数为30)，反约分将分母变成常数列：
6. $\frac{30}{30}$ 、$\frac{25}{30}$、$\frac{21}{30}$ 、 $\frac{18}{30}$ 、$\frac{16}{30}$、 （），分母项为常数列，均为30；
7. 分子项：30、25、21、18、16、？，发现无规律，用第一项减第二项得新数列5、4、3、2，（），为二级等差数列。因此？=16 - 1=15，所以未知项为 15/30 = 1/2。
8. 故正确答案为D。