分数数列

   分数数列属于高频考点，近年来几乎所有考查数字推理的省市，如江苏、广东等都会涉及。此类题型易于识别，分子、分母规律变形不多，我们只要掌握方法，就可在考场上快速地解答此类题型，建议各位重点掌握。

一、题型特征

1.    

二、解题技巧

1. （1）先观察数列整体趋势。
2. （2）（分子、分母都均匀变大或减小）时，直接观察规律：一种为分子、分母单独成规律，另一种为分子、分母合在一起成规律。
3. （3）（某一项突然变小或下一项突然变大很多）时，对变化项进行（分子、分母同时扩大使得数列趋势一致），再结合步骤（2）观察规律。

三、随笔练习

1. 例1：（2018吉林）$\frac{3}{2}、\frac{8}{5}、\frac{21}{13}、$()、$\frac{144}{89}$
2. A.$\frac{16}{28}$  B.$\frac{56}{39}$
3. C.$\frac{21}{35}$  D.$\frac{55}{34}$

：题干和选项全部都是分数，特征明显，为分数数列。先观察整体趋势，，直接观察规律求解。
直接观察发现，，故所求项的分母为21+13=34，分子为34+21=55，即所求项为$\frac{55}{34}$故正确答案为D。

1. 例2：（2015广东） $\frac{2}{5}$ 、$\frac{3}{10}$ 、$\frac{7}{30}、$ $\frac{23}{210}、$ ( )
2. A.$\frac{31}{967}$  B.$\frac{35}{1208}$
3. C.$\frac{159}{2282}$  D.$\frac{187}{4830}$

：题干和选项全部都是分数，特征明显，为分数数列。先观察整体趋势，整体趋势为分子逐渐变大，分母倍数关系明显，从分母的倍数关系入手找规律求解。
方法一：先看分母，依次用后项除以前项得到倍数为2、3、7，恰好分别为前一项的分子，可知规律为2×5=10、3×10=30、7×30=210，即每一项分子与分母的乘积为下一项的分母，故所求项分母为23×210=4830。结合选项，只有D项分母为4830且其余选项分母均不是4830的约数，因此符合条件的只有D项。
方法二：先看分子，观察可知5-2=3、10-3=7、30-7=23，即每一项分母与分子之差为下一项的分子，故所求项分子为210-23=187。结合选项，只有D项分子为187且其余选项分子均不是187的约数，因此符合条件的只有D项。

注：分数数列中常常有仅通过分子或分母即可锁定答案的情况，在考场上遇到此类题目时，我们不用再去找剩余的分母或分子的规律，这样可以提高解题速度、节约时间。

1. 例3：（2020江苏） $\frac{32}{7}、$ 4、 $\frac{128}{25}$、$\frac{128}{17}、\frac{512}{43}$、 ()
2. A.6  B.$\frac{256}{13}$
3. C.$\frac{512}{19}$  D.$\frac{512}{53}$

：题干和选项中的数字大多数是分数，特征明显，为分数数列。先观察整体趋势，除了第二项、第四项之外整体趋势相同；再分别观察分子、分母，分子规律很明显，都是2的幂次数，故将第二项和第四项，将其分子分别化为$2^6$和$2^8$。由此确定第二项和第四项，再观察规律求解本题。
原数列可转化为$\frac{32}{7}、$ $\frac{64}{16}、$ $\frac{128}{25}$、$\frac{256}{34}$、$\frac{512}{43}$、（）。其分子依次为32、64、128、256、512、(），此数列是公比为2的等比数列，故题干所求项的分子为512×2=1024；其分母依次为7、16、25、34、43、（），此数列是公差为9的等差数列，故题干所求项的分母为43+9=52。故题干所求项为$\frac{1024}{52}=\frac{256}{13}。$
故正确答案为B。

1. 例4：（2014广东）1、 $\frac{27}{15}、$ 2.6、 $\frac{51}{15}$、( )
2. A.$\frac{21}{15}$  B.$\frac{21}{5}$
3. C.5.2  D.6.2

：题干有两项是分数且选项出现分数，特征明显，为分数数列。先观察整体趋势，有整数有小数，考虑反约分。题干两个分数的分母都是15且选项也出现分母为15的分数，故可以，将每一项的分母都化为15，再观察分子是否有规律，以此求解本题。
先反约分，将题干各项都化为分母是15的分数，得到新数列： $\frac{15}{15}$、 $\frac{27}{15}$ 、$\frac{39}{15}$ 、$\frac{51}{15}$、（）。观察分子：15、27、39、51、（），后项减前项，结果均为12，故分子是公差为12的等差数列，则其下一项应为51+12=63，故题干所求项应为$\frac{63}{15}$,约分后为$\frac{21}{5}$，对应B项。故正确答案为B

1. 例5：（2018浙江） $\frac{1}{16}$ $、\frac{1}{7}、\frac{1}{4}、\frac{2}{5}、$ $\frac{5}{8}$、()
2. A.$\frac{6}{7}$  B.1
3. C.$\frac{3}{2}$  D.2

：题干中数字全部是分数，特征明显，为分数数列。先观察整体趋势，除第二项、第三项之外整体趋势相同；再。由此确定本题规律。
原数列可转化为$\frac{1}{16}、$ $\frac{2}{14}$、 $\frac{3}{12}$、 $\frac{4}{10}、\frac{5}{8}$ 、（），观察发现分母构成的数列是公差为-2的等差数列，分子构成的数列是公差为1的等差数列，所以题干所求项为$\frac{5+1}{8+(-2)}=\frac{6}{6}=1。$ 故正确答案为B。

1. 例6：（2017江苏） $\frac{1}{3}$ 、$\frac{1}{2}$、$\frac{3}{7}、\frac{5}{11}、\frac{4}{9}$
2. A.$\frac{13}{29}$  B.$\frac{11}{27}$
3. C.$\frac{9}{25}$  D.$\frac{15}{31}$

：题干和选项全部都是分数，特征明显，为分数数列。先观察整体趋势，第二项分母变小，第五项分子、分母均最大，这两项考虑反约分；又因第二项处于数列中间，反约分第二项之后即可通过前四项找出规律，再结合第五项求解。
第二项反约分之后，其分子要介于第一项和第三项分子之间，只能为2，故反约分之后前四项为$\frac{1}{3}$、$\frac{2}{4}$、$\frac{3}{7}$、$\frac{5}{11}$。分子、分母分开看，观察分子发现， 1+2=3、2+3=5；观察分母发现， 3+4=7、4+7=11，分子和分母的规律均为前两项之和等于第三项。由此规律推出第五项分子为3+5=8，分母为7+11=18，则第五项应为$\frac{8}{18}=\frac{4}{9}$，与原数列第五项吻合，故此规律成立。则题干所求项分子应为5＋8=13，分母应为11+18=29，即题干所求项为$\frac{13}{29}$。 故正确答案为A。

题干中含有多个分数，先观察数列整体趋势，趋势相同，直接看。趋势不同，反约分，一起看：分子、分母合在一起成规律