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行程问题 ​

  1. 1、考察频率：考得挺多，有简单题也有很难的题，中等难度偏多。行程问题难点在于行程问题需要一句一句理解，并根据题目给出的信息，抓住问题，画图呈现出来。
  2. 2、掌握程度：能够掌握中等难度的题型。考场上能辨别难题，遇到很难就可以放弃不要浪费时间。
  3. 3、解题思路：
    1. （1）
    2. （2）
    3. （3）注意题目和选项的速度、时间、路程单位是否一致，不一致要进行换算。

一、基本公式 ​

  1. 1、
  2. 2、平均速度= 总路程 ÷ 总时间

二、等距离平均速度 ​

  1. 1、公式：v平=2v1v2v1+v2；
  2. 2、公式解释：等距离指的是两段距离相等。第一段距离为s，速度为v1，时间为sv1。第二段距离为s，速度为v2，时间为sv2。两段距离的平均速度为2s÷（sv1+sv2）=2v1v2v1+v2
  3. 3、注意：若v1和v2大小不同，则等距离平均数的值略小于平均数。及2v1v2v1+v2<v1+v22，利用这个技巧可以快速解题。

例：(2014 北京)某人开车从A镇前往B镇，在前一半路程中，以每小时60千米的速度前进;而在后一半的路程中，以每小时120千米的速度前进。则此人从A镇到达B镇的平均速度是每小时多少千米?

  1. A.60   B.80
  2. C.90  D.100
解析
  1. 本题求60和 120的等距离平均数，则A选项直接排除。利用等距离平均数的值略小于平均数的技巧，120和60的平均数为90，选项里只有80略小于90。故正确答案为B。

例：(2015 山东)从甲地到乙地111千米，其中有1/4是平路，1/2是上坡路，1/4是下坡路。假定一辆车在平路的速度是20千米/小时，上坡的速度是15千米/小时，下坡的速度是30千米/小时。则该车由甲地到乙地往返一趟的平均速度是多少?

  1. A.19千米/小时
  2. B.20千米/小时
  3. C.21千米/小时
  4. D.22千米/小时
解析
  1. 在往返过程中总上坡与总下坡的距离相等。根据等距离平均速度公式，上坡的速度是15千米/小时，下坡的速度是30千米/小时，往返过程中，上下坡的平均速度为 （2×30×15）/（30+15）=20千米/小时，与平路的速度相等，故往返全程的平均速度为20千米/小时。故正确答案为B。

三、直线相遇问题 ​

  1. 1、描述：甲乙两人从 A、B 两地同时出发，相向而行，甲速度为V1，乙速度为V2，经过时间T相遇
  3. 2、公式：

例：(2014 北京)某人乘坐缆车下山，发现每隔半分钟就能看到一架对面上山的缆车。如果所有的缆车速度相同，那么每隔几分钟发一架缆车?

  1. A.0.25   B.0.5
  2. C.1  D.2
解析
  1. 设缆车速度为v，上山缆车和下山缆车速度和为v+v=2v。相遇时间为 0.5分钟。两个缆车的间距 s=相遇路程=速度和×相遇时间=2v × 0.5=v，所以缆车发车间隔分钟为s÷v=1分钟。故正确答案为 C。

例：(2019 新疆)甲、乙两车分别以30公里/小时和40公里/小时的速度同时匀速从A地开往B地，丙车以50公里/小时的速度匀速从B地开往A地。A、B两地距离120公里。问丙车遇到乙车后多久会遇到甲车？（ ）

  1. A.8分钟
  2. B.10分钟
  3. C.12分钟
  4. D.15分钟
解析
  1. 根据题意，本题有两个相遇过程，在每个过程中两车从两端同时出发再相遇，则两车所走路程和为A、B两地的距离。根据路程和(S) =速度和(V1+V2)× 相遇时间(T)，可得：丙车和乙车的相遇时间=120/（50+40）=4/3小时，丙车与甲车的相遇时间=120/（50+30）=3/2小时。则题干所求为3/2小时-4/3小时=1/6小时=10分钟。故正确答案为B。

四、环形相遇问题 ​

  1. 1、描述：甲乙两人在环形跑道上，同时出发，背向而行，甲速度为V1，乙速度为V2，（V1>V2）经过时间T相遇
  3. 2、公式：

例：(2019 浙江)王大妈与李大妈两人分别从小区外围环形道路上A、B两点出发相向而行。走了5分钟两人第一次相遇，接着走了4分钟后，李大妈经过A点继续前行，又过了26分钟两人第二次相遇。问李大妈沿小区外围道路走一圈需要几分钟？

  1. A.54   B.59
  2. C.60  D.63
解析
  1. 两人5分钟后第一次相遇，李大妈走王大妈一开始的路程所用时间为4分钟，根据行程公式可知路程一致，王、李两位大妈时间比为5∶4，则两人速度之比为4∶5。赋值王大妈的速度为4，李大妈的速度为5。
    从第一次相遇开始，到第二次相遇，共计用时4+26=30分钟。环形相遇问题，从同一起点出发，相遇一次即共走一个全程。则环形道路S=(王大妈速度+李大妈速度)×30=270。那么李大妈走完一圈需要的时间270/5=54分钟

例：(2018事业单位)小王和小李同时从环形跑道上的同一地点反向出发，围绕跑道分别快走和跑步。两人的速度分别为 10.8 千米/小时、14.4 千米/小时，出发 25 分钟后，两人恰好相遇 21 次。问环形跑道长为多少米？

  1. A.400
  2. B.500
  3. C.600
  4. D.700
解析
  1. 根据“从环形跑道上的同一地点反向出发”“两人恰好相遇21次”，可知本题为环形相遇问题。相遇公式为：相遇次数(n)×跑道长度(S) =速度和(V1+V2)× 相遇时间(T)
  2. 速度、时间、路程单位不一致，进行换算：10.8千米/小时=3米/秒，14.4千米/小时=4米/秒，25分钟=1500秒。设环形跑道长为s米，将数据代入公式，可得: 21×s=(4+3)x1500，解得s=500。故正确答案为 B。

五、直线追及问题 ​

  1. 1、描述：甲乙两人从 A、B 两地同时出发，同向而行，甲速度为V1，乙速度为V2，（V1>V2）经过时间T追上
  3. 2、公式：；路程差为两者初始相距的距离

例：(2015 北京)小王乘坐匀速行驶的公交车，和人行道上与公交车相对而行、匀速行走的小李相遇，30秒后公交车到站，小王立即下车与小李同一方向匀速快步行走。已知他行走的速度比小李的速度快一倍，但比公交车的速度慢一半，则他多久之后追上小李?

  1. A.3分钟   B.2分钟30秒
  2. C.2分钟  D.1分钟 30秒
解析
  1. 小李速度最慢，设小李每秒速度为v，则小王的速度为2v，公交车的速度为 4v。从相遇开始，公交车行驶30秒，则公交车行驶了4v×30=120v到站，此时小李已经走了30v，所以此时小李和小王的距离=120v+30v=150v。根据路程差=速度差x时间，150v=(2v-v)t，t=150秒，故正确答案为B。

例：(2019 新疆和田事业单位35%)快中慢三辆车同时从同一地点出发，沿统一公路追赶前面的一辆骑车人，这三辆车分别用了6min，10min，12min追上骑车人，其中快车每小时行24km，中车每小时行20km，则慢车每小时行

  1. A.19km
  2. B.14km
  3. C.15km
  4. D.18km
解析
  1. 由题意可知，快中慢三辆车分别跟骑车人做追及运动。设快中慢三辆车和骑车人的追及距离为S，骑车人的速度为每小时行x米，慢车每小时行y千米。根据追及公式：路程差(S追)=速度差(V1-V2)× 追及时间(T)，快车和骑车人可得方程S=（6/60）×（14-x）①，中车和骑车人可得S=（10/60）×（20-x）②，慢车和骑车人可得S=（12/60）×（y-x）③；联立①②解得x=14，S=1，代入③解得y=19。故正确答案为A。

六、环形追及问题 ​

  1. 1、描述：甲乙两人在环形跑道上，同时出发，同向而行，甲速度为V1，乙速度为V2，（V1>V2）经过时间T追上
  3. 2、公式：；

例：(2008 云南)环形跑道周长400米，甲乙两个运动员同时从起跑线出发，甲每分钟跑375米，乙每分钟跑365米，多少时间后甲乙再次相遇：

  1. A.34分钟
  2. B.36分钟
  3. C.38分钟
  4. D.40分钟
解析
  1. 环形跑道相遇问题，根据公式路程差(S追)=速度差(V1-V2)× 追及时间(T)，因为甲乙再次相遇即相遇一次，路程差(S追)为400，追及时间(T)=400/(375-365)=40分钟，故正确答案为D。

例：(2011联考)一条环形赛道前半段为上坡，后半段为下坡，上坡和下坡的长度相等。两辆车同时从赛道起点出发同向行驶，其中A车上下坡时速相等，而B车上坡时速比A车慢20%，下坡时速比A车快 20%。问在A车跑到第几圈时两车再次齐头并进?

  1. A.22   B.23
  2. C.24  D.25
解析
  1. 本题求A跑了几圈时第一次追上B。设A车速度为1，则B车上坡速度为 0.8，下坡速度为 1.2。B车的等距离平均速度=(2×0.8×1.2)/(0.8+1.2)=0.96，AB 的速度比=1:0.96=25:24，因为运动时间相等，则路程比等于速度比，则AB路程比也为 25:24，也就是说当A车行驶25圈时，B车行驶24圈，此时A、B两车再次齐头并进。故正确答案为 D。

七、“同端出发”的线性多次相遇问题 ​

  1. 1、定义：同时同向出发，折返后第一次相遇，我们把它叫做：直线同一端出发n次相遇问题；
  2. 2、描述：甲乙两人在A点同时出发，同向而行，甲速度为V1，乙速度为V2，（V1>V2），到达B点后折返
  4. 直线型多次相遇本质还是相遇问题，符合相遇公式S =（V1+V2）×T，只不过此时的S是n次相遇走的路程总和。
  5. 公式：；n为相遇次数，S为单程距离
    1.   分析：甲、乙两人从A地同时同向而行，在A、B之间往返，甲比乙速度快,第一次迎面相遇，则甲、乙共走了2个S，第二次迎面相遇，共走4个S，之后的每次迎面相遇都多走2个S。类推得出，第n次相遇两人路程和=2nS=速度和×相遇时间。

例：(2021 广东)小王和小李沿着绿道往返运动，绿道总长度为3公里。小王每小时走2公里;小李每小时跑4公里。如果两人同时从绿道的一端出发，则当两人第7次相遇时，距离出发点()公里。

  1. A.0   B.1
  2. C.1.5  D.2
解析
  1. 从“同时从绿道的一端出发”可知是同端出发，从“第7次相遇”可知是多次相遇，因此辨别题型为同端出发多次相遇问题。根据同端出发多次相遇公式(v1+v2)t =2nS，(2+4)t=2×3×7，解得t=7小时。小王每小时走2公里，所以第7次相遇时小王总共走了2×7=14公里，14/3=4……2公里，即距离出发点2公里。

例：(2013 联考42%)小张、小王二人同时从甲地出发，驾车匀速在甲乙两地之间往返行驶。小张的车速比小王快，两人出发后第一次和第二次相遇都在同一地点，那么小张的车速是小王的多少倍：

  1. A.1.5
  2. B.2
  3. C.2.5
  4. D.3
解析
  1. 设甲、乙两地距离为S，根据“同端出发多次相遇”可知：第n次相遇共走2nS
  3. 如图一所示，两人从甲地同时出发，在图中丙地第一次相遇，图中为小张所走路线，假设小王从甲地到第一次相遇点所走过的路程为x，则能够推断小张所走过的路程为图示中2S-x；
  5. 两人出发后第一次和第二次相遇都在同一地点，根据图二，则小王从最开始到第二次相遇地所走的总路程为2S-x。小张所走过的路程为2×（2S-x）。二次相遇，两人共走2×2×S=4S，因此4S=（2S-x）+2×（2S-x），解的x=23S，因此小王所走过的路程为2S-x=43S，小张所走过的路程为2（2S-x）=83S，时间相同，速度之比等于路程之比。43S：83S=1：2，即小张速度是小王的2倍。故正确答案为B。

八、“两端出发”的线性多次相遇问题 ​

  1. 1、描述：AB直接距离为S，甲从A向B地出发，乙从B向A地出发，甲速度为V1，乙速度为V2，（V1>V2），到达目的地后折返
  3. 2、公式：；n为相遇次数，S为单程距离
    1. 公式分析：甲、乙两人从 A、B两地同时相向而行，第一次迎面相遇，则甲乙共走了1个S，到达对岸后两人转向第二次迎面相遇在b处，共走了3个S之后的每次相遇都多走2个S。类推得出，第n次相遇两人路程和=(2n-1)S=速度和×相遇时间。

例：(2013 浙江)甲、乙两地相距 210 千米，a、b两辆汽车分别从甲、乙两地同时相向出发并连续往返于两地。从甲地出发的a汽车的速度为90千米/小时，从乙地出发的b汽车的速度为 120 千米/小时。问a汽车第二次从甲地出发后与b汽车相遇时，b汽车共行驶多少千米?

  1. A.560 千米
  2. B.600 千米
  3. C.620 千米
  4. D.630 千米
解析
  1. a车第二次从甲地出发后与b汽车相遇时，是两车第三次相遇。两车路程和=(2x3-1)x210=1050 千米，根据相遇路程=速度和x相遇时间，1050=(90+120)x时间，可得相遇时间=5 小时，所以b汽车行驶路程=速度x时间=120x5=600千米。故正确答案为B。

例：(2011国考50%)甲、乙两人在长30米的泳池内游泳，甲每分钟游37.5米，乙每分钟游52.5米。两人同时分别从泳池的两端出发，触壁后原路返回，如是往返。如果不计转向的时间，则从出发开始计算的1分50秒内两人共相遇多少次？

  1. A.2
  2. B.3
  3. C.4
  4. D.5
解析
  1. 第一步，本题考查行程问题，属于相遇追及类，用公式法解题。
  2. 第二步，设共相遇n次，由直线多次相遇公式，得（2n－1）×30＝（37.5＋52.5）×11/6解得n＝3.25，故两人共相遇3次。因此，选择B选项。

九、流水行船 ​

  1. 1、描述：流水行船，即船在水中行；除了船本身可能有速度，还需要考虑水的推送或者顶逆，船速和水速会相互作用，可能会加、可能会减。
  2. 2、在流水行船中，会出现以下可能性：
    1. ，此时船的速度不受影响，此时v=船速，此为静水行船；
    2. ，此时船会跟着水走，此时v=水速，此为顺水漂流；
    3. ，即水推送船，此时v=船速+水速，此为顺水行船；
    4. ，即水顶逆船，此时v=船速-水速，此为逆水行船。
    5. ，就是靠水推着走，所以船速=水速
    6. （6）知某船的逆水速度和顺水速度，可以求出船速和水速。因为顺水速度就是船速与水速之和，逆水速度就是船速与水速之差，根据和差问题的算法，可知：
      1. ①船速 = (顺水速度 + 逆水速度) / 2
      2. ②水速 = (顺水速度 - 逆水速度) / 2
  3. 3、扶梯问题：变形的流水行船问题
    1. （1）顺行：扶梯长度=(人速+梯速)x时间
    2. （2）逆行：扶梯长度 =(人速-梯速)x时间
    3. （3）注意：扶梯长度、人速、梯速，可以是米/秒，也可以是梯级/秒。
    4. （4）顺行：扶梯级数=人走的梯级数+扶梯运行的梯级数
    5. （5）逆行：扶梯级数=人走的梯级数-扶梯运行的梯级数

例：(2013 广州48%)一艘船在河水流速为每小时 15 千米的河中央抛锚，停在码头下游 60千米处。一艘时速为40 千米的救援船从码头出发前去拖船，已知救援船拖上另一艘船后，船速将下降 1/4。救援船从码头出发，一共需要大约()小时才能将抛锚的船拖回码头?

  1. A.3   B.3.5
  2. C.4  D.5.1
解析
  1. 去程用时=路程÷顺水速度=60÷(40+15)。回程时船速下降1/4，所以船速为 30，回程用时=路程÷逆水速度=60÷(30-15)=4。总时间为两个时间和，所以结果肯定大于4，排除前三个选项。故正确答案为 D。

例：(2017 联考)某机场一条自动人行道长42m，运行速度0.75 m/s。小王在自动人行道的起始点将一件包裹通过自动人行道传递给位于终点位置的小明。小明为了节省时间，在包裹开始传递时，沿自动人行道逆行领取包裹并返回。假定小明的步行速度是1 m/s，则小明拿到包裹并回到自动人行道终点共需要的时间是：

  1. A.24秒
  2. B.42秒
  3. C.48秒
  4. D.56秒
解析
  1. 考察类流水行船问题及相遇问题。自动人行道速度为0.75 m/s，包裹开始传递时的速度等于自动人行道速度，小明逆向领取包裹速度为1-0.75=0.25m/s，根据相遇公式，小明和包裹相遇需要42÷（0.75+0.25）=42秒，此时距离小明起点0.25×42=10.5米，小明返回速度为1+0.75=1.75 m/s，所需时间10.5÷1.75=6秒，共用时42+6=48秒。故正确答案为C。

十、火车过桥（隧道） ​

  1. 1、描述：一辆火车车长为R，从AB桥行驶，桥长为S
  3. 2、公式：总路程=速度×时间；。

例：(2018广东)一列货运火车和一列客运火车同向匀速行驶，货车的速度为72千米/时，客车的速度为108千米/时。已知货车的长度是客车的1.5倍，两列火车由车尾平齐到车头平齐共用了20秒，则客运火车长( )米。

  1. A.160   B.240
  2. C.400  D.600
解析
  1. 此题考查两列火车由车尾平齐到车头平齐的运动过程，相当于客车完全在桥上的模型，其行驶路程为“桥长(货车长)”-车长，货车与客车同向运动，注意速度单位转换，72千米/时=20米/秒， 108千米/时=30米/秒，设客车长度为s，货车长度为1.5s，根据桥长-车长=速度×时间。可列两个式子
  2. ①桥长-s=30×20
  3. ②桥长-1.5s=20×20
  4. ①-②：0.5s=200，解的s=400
  5. 因此，选择C选项。

例：(2019 河南司法所)某隧道长1500米，有一列长150米的火车通过这条隧道，从车头进入隧道到完全通过隧道花费的时间为50秒，整列火车完全在隧道中的时间是：

  1. A.43.2秒
  2. B.40.9秒
  3. C.38.3秒
  4. D.37.5秒
解析
  1. 本题为行程问题中的火车过桥问题。总路程=桥长+车长=1500+150=1650，则火车的速度为1650÷50=33米/秒。整列火车完全在隧道中的路程为1500-150=1350米，那么整列火车完全在隧道中的时间为1350÷33约等于40.9秒。故正确答案为B。