行程问题

一、公式

基本公式

2. 平均速度= 总路程 ÷ 总时间

等距离平均速度

1.   公式：$v_{\mathrm{平}}=2\frac{v_1{v}_2}{v_1+v_2}$；
2.   等距离指的是两段距离相等。第一段距离为s，速度为$v_1$，时间为$\frac{s}{v_1}$。第二段距离为s，速度为$v_2$，时间为$\frac{s}{v_2}$。两段距离的平均速度为2s÷（$\frac{s}{v_1}+\frac{s}{v_2}$）=$2\frac{v_1{v}_2}{v_1+v_2}$
3.   注：若$v1$和$v2$大小不同，则等距离平均数的值略小于平均数。及$2\frac{v_1{v}_2}{v_1+v_2}$<$\frac{v_1+v_2}{2}$，利用这个技巧可以快速解题。

4. 【例】(2014 北京)某人开车从A镇前往B镇，在前一半路程中，以每小时60千米的速度前进;而在后一半的路程中，以每小时120千米的速度前进。则此人从A镇到达B镇的平均速度是每小时多少千米?

5. A.60   B.80  C.90  D.100

6. 【解析】本题求60和 120的等距离平均数，则A选项直接排除。利用等距离平均数的值略小于平均数的技巧，120和60的平均数为90，选项里只有80略小于90。故正确答案为B。

直线相遇问题

1.   描述：甲乙两人从 A、B 两地同时出发，相向而行，甲速度为V1，乙速度为V2，经过时间T相遇
2. 
3.   公式：；S 为相遇过程中，两人所走的路程和

4. 【例】(2014 北京)某人乘坐缆车下山，发现每隔半分钟就能看到一架对面上山的缆车。如果所有的缆车速度相同，那么每隔几分钟发一架缆车?

5. A.0.25   B.0.5  C.1  D.2

6. 【解析】设缆车速度为v，上山缆车和下山缆车速度和为v+v=2v。相遇时间为 0.5分钟。两个缆车的间距 s=相遇路程=速度和×相遇时间=2vx0.5=v，所以缆车发车间隔为s÷v=1。故正确答案为 C。

环形相遇问题

1.   描述：甲乙两人在环形跑道上，同时出发，背向而行，甲速度为V1，乙速度为V2，（V1>V2）经过时间T相遇
2. 
3.   公式：两人路程和= ；n为相遇次数

4. 【例】(2019 浙江)王大妈与李大妈两人分别从小区外围环形道路上A、B两点出发相向而行。走了5分钟两人第一次相遇，接着走了4分钟后，李大妈经过A点继续前行，又过了26分钟两人第二次相遇。问李大妈沿小区外围道路走一圈需要几分钟？

5. A.54   B.59  C.60  D.63

6. 【解析】两人5分钟后第一次相遇，李大妈走王大妈一开始的路程所用时间为4分钟，根据行程公式可知路程一致，王、李两位大妈时间比为5∶4，则两人速度之比为4∶5。赋值王大妈的速度为4，李大妈的速度为5。
   从第一次相遇开始，到第二次相遇，共计用时4+26=30分钟。环形相遇问题，从同一起点出发，相遇一次即共走一个全程。则环形道路S=(王大妈速度+李大妈速度)×30=270。那么李大妈走完一圈需要的时间270/5=54分钟

直线追及问题

1.   描述：甲乙两人从 A、B 两地同时出发，同向而行，甲速度为V1，乙速度为V2，（V1>V2）经过时间T追上
2. 
3.   公式：；S追为两者初始相距的距离（及AB路程差）

4. 【例】(2015 北京)小王乘坐匀速行驶的公交车，和人行道上与公交车相对而行、匀速行走的小李相遇，30秒后公交车到站，小王立即下车与小李同一方向匀速快步行走。已知他行走的速度比小李的速度快一倍，但比公交车的速度慢一半，则他多久之后追上小李?

5. A.3分钟   B.2分钟30秒  C.2分钟  D.1分钟 30秒

6. 【解析】小李速度最慢，设小李每秒速度为u，则小王的速度为2v，公交车的速度为 4v。从相遇开始，公交车行驶 4v×30=120v到站，此时小李已经走了30v，所以此时小李和小王的距离=120v+30v=150v。根据路程差=速度差x时间，150v=(2v-v)t，t=150秒，故正确答案为B。

环形追及问题

1.   描述：甲乙两人在环形跑道上，同时出发，同向而行，甲速度为V1，乙速度为V2，（V1>V2）经过时间T追上
2. 
3.   公式：两人路程差=；追及 1 次，甲比乙多跑一圈，两人路程差 =1 圈；追及 n 次，两人路程差 =n 圈

4. 【例】(2011联考)一条环形赛道前半段为上坡，后半段为下坡，上坡和下坡的长度相等。两辆车同时从赛道起点出发同向行驶，其中A车上下坡时速相等，而B车上坡时速比A车慢20%，下坡时速比A车快 20%。问在A车跑到第几圈时两车再次齐头并进?

5. A.22   B.23  C.24  D.25

6. 【解析】本题求A跑了几圈时第一次追上B。设A车速度为1，则B车上坡速度为 0.8，下坡速度为 1.2。B车的等距离平均速度=(2×0.8×1.2)/(0.8+1.2)，AB 的速度比=1:0.96=25:24，因为运动时间相等，则路程比等于速度比，则AB路程比也为 25:24，也就是说当A车行驶25圈时，B车行驶24圈，此时A、B两车再次齐头并进。故正确答案为 D。

“同端出发”的线性多次相遇问题

1.   定义：同时同向出发，折返后第一次相遇，我们把它叫做：直线同一端出发n次相遇问题；
2.   描述：甲乙两人在A点同时出发，同向而行，甲速度为V1，乙速度为V2，（V1>V2），到达B点后折返
3. 
4.   直线型多次相遇本质还是相遇问题，符合相遇公式S =（V1+V2）×T，只不过此时的S是n次相遇走的路程总和。
5.   公式：n次相遇走的路程总和=；n为相遇次数，S为单程距离
   1.   分析：甲、乙两人从A地同时同向而行，在A、B之间往返，甲比乙速度快,第一次迎面相遇，则甲、乙共走了2个S，第二次迎面相遇，共走4个S，之后的每次迎面相遇都多走2个S。类推得出，第n次相遇两人路程和=2nS=速度和×相遇时间。。

6. 【例】小王和小李沿着绿道往返运动，绿道总长度为3公里。小王每小时走2公里;小李每小时跑4公里。如果两人同时从绿道的一端出发，则当两人第7次相遇时，距离出发点()公里。

7. A.0   B.1  C.1.5  D.2

8. 【解析】从“同时从绿道的一端出发”可知是同端出发，从“第7次相遇”可知是多次相遇，因此辨别题型为同端出发多次相遇问题。根据同端出发多次相遇公式(v1+v2)t =2nS，(2+4)t=2×3×7，解得t=7小时。小王每小时走2公里，所以第7次相遇时小王总共走了2×7=14公里，14/3=4……2公里，即距离出发点2公里。

“两端出发”的线性多次相遇问题

1.   描述：AB直接距离为S，甲从A向B地出发，乙从B向A地出发，甲速度为V1，乙速度为V2，（V1>V2），到达目的地后折返
2. 
3.   公式：第n次相遇路程和= ；n为相遇次数，S为单程距离
   1.   分析：甲、乙两人从 A、B两地同时相向而行，第一次迎面相遇，则甲乙共走了1个S，到达对岸后两人转向第二次迎面相遇在b处，共走了3个S之后的每次相遇都多走2个S。类推得出，第n次相遇两人路程和=(2n-1)S=速度和×相遇时间。

4. 【例】甲、乙两地相距 210 千米，a、b两辆汽车分别从甲、乙两地同时相向出发并连续往返于两地。从甲地出发的a汽车的速度为90千米/小时，从乙地出发的b汽车的速度为 120 千米/小时。问a汽车第二次从甲地出发后与b汽车相遇时，b汽车共行驶多少千米?

5. A.560 千米   B.600 千米  C.620 千米  D.630 千米

6. 【解析】a车第二次从甲地出发后与b汽车相遇时，是两车第三次相遇。两车路程和=(2x3-1)x210=1050 千米，根据相遇路程=速度和x相遇时间，1050=(90+120)x时间，可得相遇时间=5 小时，所以b汽车行驶路程=速度x时间=120x5=600千米。故正确答案为B。

流水行船

1.   描述：流水行船，即船在水中行；除了船本身可能有速度，还需要考虑水的推送或者顶逆，船速和水速会相互作用，可能会加、可能会减。
2.   在流水行船中，会出现以下可能性：
   1.   ，此时船的速度不受影响，此时v=船速，此为静水行船；
   2.   ，此时船会跟着水走，此时v=水速，此为顺水漂流；
   3.   ，即水推送船，此时v=船速+水速，此为顺水行船；
   4.   ，即水顶逆船，此时v=船速-水速，此为逆水行船。
   5.   ，就是靠水推着走，所以船速=水速
3.   扶梯问题(变形的流水行船问题)
   1.   顺行：扶梯长度=(人速+梯速)x时间
   2.   逆行：扶梯长度 =(人速-梯速)x时间
   3.   注意：扶梯长度、人速、梯速，可以是米/秒，也可以是梯级/秒。
   4.   顺行：扶梯级数=人走的梯级数+扶梯运行的梯级数
   5.   逆行：扶梯级数=人走的梯级数-扶梯运行的梯级数

4. 【例】(2013 广州)一艘船在河水流速为每小时 15 千米的河中央抛锚，停在码头下游 60千米处。一艘时速为40 千米的救援船从码头出发前去拖船，已知救援船拖上另一艘船后，船速将下降 1/4。救援船从码头出发，一共需要大约()小时才能将抛锚的船拖回码头?

5. A.3   B.3.5  C.4  D.5.1

6. 【解析】去程用时=路程÷顺水速度=60÷(40+15)。回程时船速下降1/4，所以船速为 30，回程用时=路程÷逆水速度=60÷(30-15)=4。总时间为两个时间和，所以结果肯定大于4，排除前三个选项。故正确答案为 D。

火车过桥（隧道）

1.   描述：一辆火车车长为R，从AB桥行驶，桥长为S
2. 
3.   公式：；若火车完全过桥，则总路程=桥长+车长；若火车完全在桥上，则路程=桥长-车长。

4. 【例】(2018广东)一列货运火车和一列客运火车同向匀速行驶，货车的速度为72千米/时，客车的速度为108千米/时。已知货车的长度是客车的1.5倍，两列火车由车尾平齐到车头平齐共用了20秒，则客运火车长( )米。

5. A.160   B.240  C.400  D.600

6. 【解析】此题考查两列火车由车尾平齐到车头平齐的运动过程，相当于客车完全在桥上的模型，其行驶路程为“桥长(货车长)”-车长，由于货车与客车同向运动，则客车的相对速度为两车速度之差，注意速度单位转换，72千米/时=20米/秒， 108千米/时=30米/秒，设客车长度为s客，货车长度为1.5s客，根据s=v×t，可得1.5s客-s客=(30-20)×20，解得s客=400米，因此，选择C选项。