方程思想

  数学运算的大部分题型，都可以使用方程法思想来解答。其中，对于一些典型题型，如“盈亏问题”、“鸡兔同笼问题”、和差倍比问题“等等，使用方程法思想解题才是最快的。

一、基本方程

  掌握基本的，准确找出题目中的等量关系进行列式，是数学运算中最重要的方法。
  如何设x？
    1.设小不设大(避免出现分数)
    2.设中间量(方便列式)
    3.求谁设谁(避免出现陷阱)

二、不定方程

  除了基本方程外，在我们的解题过程中，经常会遇到含有 1 个未知数的方程，也可能遇到含有 2 个未知数 2 个方程的方程组，或者 3 个未知数 3 个方程的方程组，这些方程或者方程组一般都有确定的解。
  ：综合利用整数的奇偶性、自然数的质合性、数的整除特性、尾数法、余数特性、特殊值法、代入排除法等多种数学知识来得到答案。

三、不等式

  在设元求解的过程中，根据题意所得方程可能是等式方程，也可能是不等式方程。相较于等式方程能求出精确值，不等式方程还需要我们对取值区间做出判断。

四、随笔练习

1. 例1：某地鼓励农户种植果树，规定每个自然年末种植果树面积比年初增加 5 亩，农民可得到 2000 元奖金，且超出 5 亩后每增加 1 亩可额外获得 x 元奖金。已知每个自然年种植的果树，从下一自然年起每亩每年可获得 y 元的果树收入。某农户第一年开始种植果树，当年种植 10 亩，获奖金 3500 元；第二年种植面积扩大 16 亩；第三年种植面积又扩大 15 亩，年收入比第一年的 16 倍多 1000 元。则以下哪个不等式能准确描述 x 与 y 的关系（ ）（注：年收入 = 奖金 + 果树收入）
2. A. x ＜ 0.2y
3. B. 0.2y ≤ x ＜ 0.5y
4. C. 0.5y ≤ x ＜ y
5. D. x ≥ y

：，解得 x=300， 即超出5亩后每亩可额外获得 300元奖金。
第三年农民种植面积扩大15亩，增加5亩部分奖金依然为2000元，超出 15 - 5 = 10亩，额外奖金数 = 10x =3000元，此时第三年果树收入应该由第一年的果树10亩和第二年新增的果树16亩获得，则第三年果树收入 = （10 + 16）× y，所以第三年年收入 = 2000 + 3000 + 26y
根据题干条件第三年年收入比第一年的16倍还多1000元，得到等式：2000 + 3000 + 26y = 3500 x 16 + 1000，整理可得：5000 + 26y = 57000，解得 y=2000，综上可知：x = 300，y=2000；结合选项，只有A符合。

1. 例2：甲车间的生产效率是乙车间的 1.5 倍，分别生产 1200 件相同的产品，甲车间所需时间比乙车间少 10 天。问甲、乙两个车间合作生产 3000 件相同的产品需要多少天？（ ）
2. A.20
3. B.25
4. C.30
5. D.35

：设，由题意可知，1200÷2x-1200÷3x=10，解得 x=20。即甲车间每天生产 3×20=60 件，乙车间每天生产2×20=40 件。故题干所求为 3000÷（60+40）=30 天。故本题选 C。

1. 例3：小张从甲地出发匀速前往乙地，同时小李和小王从乙地出发匀速前往甲地，小张和小李在途中的丙地相遇，小张和小王在途中的丁地相遇。已知小张的速度比小李快一半，小王的速度比小李慢一半，则丙、丁两地之间的距离与甲、乙两地之间的距离之比为：（ ）
2. A. 2：15
3. B. 1：4
4. C. 3：20
5. D. 1：15

：设甲乙两地的距离为$s$，小张、小李、小王的速度分别为$3x、2x、x$，由下图可知，小张和小李相遇时用时为$t1=s÷(3x+2x)=\frac{s}{5x}$，小张和小王相遇时用时$t2=s÷(3x+x)=\frac{s}{4x}$，则小张经过丙、丁两地路程用时$t2-t1=\frac{s}{4x}-\frac{s}{5x}$，所以丙、丁两地之间的路程$S\mathrm{丙}\mathrm{丁}=3x\times （\frac{s}{4x}-\frac{s}{5x}）=\frac{3s}{20}$，故题干所求为$\frac{3s}{20}:s=3:20$。故本题选 C。

1. 例4：某工厂生产过程中需要用到 A、B、C 三种零件，工厂仓库中原有三种零件的数量比为 1：2：3，现在采购部门新购进一批零件，新购进三种零件的数量比是 3：2：4，工厂每天使用的三种零件数量相同，当 A 零件用完的时候，B 零件还剩下 10 个，C 零件还剩下 170 个，请问工厂仓库中原有 A、B、C 零件各多少个？（ ）
2. A. 40，80，120
3. B. 50，100，150
4. C. 60，120，180
5. D. 70，140，210

：设原有三种零件的数量分别为，由于每天使用的三种零件数量相同，所以 A、B、C 三种零件使用的总量相同。
（2x+2y）-（x+3y）=10 ①
（3x+4y）-（x+3y）=170 ②
解得 x=60，y=50。所以原有三种零件的数量分别为 60、120、180。选 C。