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方程思想 ​

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  1.   数学运算的大部分题型，都可以使用方程法思想来解答，掌握基本的，准确找出题目中的等量关系进行列式，是数学运算中最重要的方法。其中，对于一些典型题型，如“盈亏问题”、“鸡兔同笼问题”、和差倍比问题“等等，使用方程法思想解题才是最快的。

一、基本方程 ​

  1. 1、一个未知数：

    1. （1）

    2. （2）

    3. （3）。如 甲：乙=3：2，乙：丙=1：4，设乙可把甲和丙联系了起来，如果设甲，需要计时乙再计时丙，计算麻烦。

    4. （4）。如 甲乙丙的钱数比为2：3：5，丙比甲多30元，设每份为x元，则 甲：2x，乙：3x，丙：5x，方程：5x - 2x = 30。

  1. 2、多个未知数：
    1. （1）存在多个未知数，设x、y、z。
    2. （2）建立方程组，抓住问题求解未知数。

二、不定方程 ​

不定方程是数学中一类或未知数受到特定限制(如整数、正数等)的方程或方程组,其核心特点在于解的不唯一性。

  1. 1、不定方程：

    1. 形式：ax+by=m。在考试中x、y通常都是正整数。
    2. 解不定方程问题常用的解法：综合利用、等多种数学知识来得到答案。

  2. 3、不定方程组：

    1. {ax+by+cz=mdx+ey+fz=n
    2. 未知数一般是整数就。
    3. 未知数如果是小数（时间、单价），可以采用。

    4. 拓展：赋零法
      为什么可以使用赋零法？因为小数具有连续性。
      比如方程3x + 5y = 1，当所求的未知数为整数时，我们令y=0，解得x=1/3，但这不是整数解，即(1/3, 0)不是一个解。如果，方程就有无数组解，随便找一组即可，而0是最简单的，因此可以用赋零法。建议使用时让最复杂的未知数为0，代入进行计算。

    5. 拓展：配系数法
      通过调整方程中未知数的系数，使所有未知数的系数相同，从而将不定方程转化为定方程。简单的说就是配出n(x+y+z)的值。
      例如：木匠加工2张桌子和4张凳子共需要10个小时，加工4张桌子和8张椅子需要22个小时。问如果他加工桌子、凳子和椅子各10张，共需要多少小时?
      设木匠加工一张桌子、一张凳子、一张椅子各需要x、y、z小时，可以列出两个方程2𝑥+4𝑦=10①4𝑥+8𝑧=22 ②。因为我们要求(10x+10y+10z)小时，可以将所求未知数的系数配成相同即可。此时可以将①式扩大2倍变为：4x+8y=20③，②+③得：8x+8y+8z=42。故x+y+z=42÷8，则所求为42÷8×10=52.5小时。并且题干满足赋0法的使用条件（小数），本题赋值z=0。则4x=22，求得x=5.5。将x=5.5代入①式得：11+4y=10，解得y=−0.25。所以10x+10y+10z=10×(5.5-0.25+0)=52.5小时。

三、函数型求极值 ​

  1. 1、一元一次方程：设未知数，可列出一元有次方程进行求解。f(x)=ax+b，函数在闭区间[m，n]上：由于单调性，最值出现在端点处。

    1. （1）若a>0：最小值为f(m)，最大值为f(n)。

    2. （2）若a<0：最小值为f(n)，最大值为f(m)。

  2. 2、一元二次方程：设未知数，可列出一元二次方程进行求解。f(x)=ax2+bx+c，

    1. （1）方法一：代入公式，f(x)在x=−b2a处取的最小值或最大值，带入方程得出f(x)=4ac−b24a。

    2. （2）方法二：将函数用因式分解表示成的形式，再令两个因式等于零，则可以求出来两根x1和x2，那么当x=x1+x22有最值，代入未知数对应表达式 即为所求最值。

    3. （3）方法三：带入求跟公式，x=−b±b2−4ac2a，可以求出来两根x1和x2，那么使得f(x)最大或最小的x=x1+x22，代入未知数对应表达式 即为所求最值。

    4. （4）方法四：求导。f(x)=48+8x-x²，导数为8-2x，令导数=0，则x=4时，取最大值。

  4. 3、不定方程（未知数个数多于方程个数）：若是不定方程组先转化成不定方程。如：3x+4y=25。此类问题的核心是在约束条件下（未知数是否为正整数、非负整数等），找到使目标式取得最值的解。

    1. （1）方法一：要使某个未知数尽可能大，则另外一个未知数尽可能小；反之，要使某个未知数尽可能小，则另外一个未知数应尽可能大；

    2. （2）方法二：代入法。问最大则把选项从大到小依次代入，问最小则把选项从小到大依次代入。

三、扩展：盈亏思维 ​

  1. 1、什么是盈亏：把若干物体平均分给一定数量的对象，并不是每次都能正好分完。如果。

  2. 2、题型特征：给出某物体的两种分配标准和结果，来求物体数量和参与分配的对象数量。由于每次分配都可能出现这三种情况，那么就会有多种结果的组合。

  3. 3、基本公式：此类问题本质可以使用方程来解，如果记住公式遇到此类题会比方程法做得更快。

    1. 类型公式
      一盈一亏型盈数+亏数两次分配数的差=对象数
      两次皆盈型大盈−小盈两次分配数的差=对象数
      两次皆亏型大亏−小亏两次每人分配数的差=对象数
      一盈一尽型盈数两次分配数的差=对象数
      一亏一尽型亏数两次分配数的差=对象数
    2. 例：小朋友分糖果，每人分5颗（）剩余12颗（），每人分8颗（）少6颗（），问有多少个小朋友？
    3. 分析：可以使用方程法，设糖果x颗，小朋友y个，列出两个方程即可解决。这里我们使用盈亏问题的公式一盈一亏型：盈数+亏数两次每人分配数的差=对象数，及12+68-5=6（个）。

  4. 4、注意：

    1. （1）：题目看不出“盈”或“亏”，那么需要转化为标准的盈亏问题。例如“每船坐4人则多出2人；若减少1条船则每船坐6人刚好把人全带上。问有多少人？”这里的“减少1条船则每船坐6人刚好把人全带上”需要转化成“每船坐6人则剩6人“（减少1条船，那就补上一条船，那么就少6人），那么（6+2）÷（6-4）=4条船，注意这里的对象数是船，代入4×4+2=18人”。

    2. （2）：前面都是给分两种情况，而分步就是按照第一步，再第二步来完成。例如”先每人发2本书，剩余10本；再补发每人3本，最后少5本，有多少学生？“这里的先...再...就是分步，第二步补发每人3本，那不就是每人发5本少了5本，那么（10+5）÷（5-2）=5人。

四、随笔练习 ​

例1：（2024黑龙江）某包装车间包装甲、乙两种规格的袋装杂粮，甲、乙两袋杂粮的重量之比为5：2，如果从甲袋中称出2公斤放入乙袋后，甲、乙两袋杂粮的重量之比变为4：3。问甲袋杂粮原来重量为：

  1. A.8公斤
  2. B.10公斤
  3. C.12公斤
  4. D.15公斤
解析
  1. 设原来甲、乙两袋杂粮的重量分别为5x公斤和2x公斤。
  2. 如果从甲袋中称出2公斤放入乙袋后，甲、乙两袋杂粮的重量之比变为4：3。可列式：5x−22x+2=43，解得x=2。
  3. 则甲袋杂粮原来重量为5x=5×2=10公斤。
  4. 故正确答案为B。

例2：（2018四川）甲车间的生产效率是乙车间的 1.5 倍，分别生产 1200 件相同的产品，甲车间所需时间比乙车间少 10 天。问甲、乙两个车间合作生产 3000 件相同的产品需要多少天？（ ）

  1. A.20
  2. B.25
  3. C.30
  4. D.35
解析
  1. 工作量 = 工作效率 × 工作时间，设。
  2. 由题意可知，1200÷2x-1200÷3x=10，解得 x=20。
  3. 即甲车间每天生产 3×20=60 件，乙车间每天生产2×20=40 件。
  4. 故题干所求为 3000÷（60+40）=30 天。
  5. 故本题选 C。

例3：（2019山东选调）某工厂生产过程中需要用到 A、B、C 三种零件，工厂仓库中原有三种零件的数量比为 1：2：3，现在采购部门新购进一批零件，新购进三种零件的数量比是 3：2：4，工厂每天使用的三种零件数量相同，当 A 零件用完的时候，B 零件还剩下 10 个，C 零件还剩下 170 个，请问工厂仓库中原有 A、B、C 零件各多少个？（ ）

  1. A. 40，80，120
  2. B. 50，100，150
  3. C. 60，120，180
  4. D. 70，140，210
解析
  1. 设原有三种零件的数量分别为，由于每天使用的三种零件数量相同，所以 A、B、C 三种零件使用的总量相同。
  2. （2x+2y）-（x+3y）=10....①
  3. （3x+4y）-（x+3y）=170....②
  4. 解得 x=60，y=50。所以原有三种零件的数量分别为 60、120、180。
  5. 选 C。

例4：（2020深圳）某快递集散点有一批包裹，由甲、乙、丙三名快递员各自独立完成送达。其中有93件不是甲派送的，92件不是乙派送的，91件不是丙派送的，则甲派送了（ ）件。

  1. A. 44
  2. B. 45
  3. C. 46
  4. D. 47
解析
  1. 设甲、乙、丙分别派送了x、y、z件包裹，由题意可知，有93件不是甲派送的，即由乙和丙共派送93件；同理有92件不是乙派送的，即由甲和丙共派送92件；有91件不是丙派送的，即由甲和乙共派送91件。则可列方程组为:
  2. {y+z=93x+z=92x+y=91
  3. 解得x=45。故正确答案为B。

例5：（2009浙江）有271位游客欲乘大、小两种客车旅游，已知大客车有37个座位，小客车有20个座位。为保证每位乘客均有座位，且车上没有空座，则需大客车的辆数是：

  1. A.1辆
  2. B.3辆
  3. C.2辆
  4. D.4辆
解析
  1. 设大客车有x辆，小客车有y辆。
  2. 根据题意可列方程：37x+20y=271。
  3. 这是一个不定方程，20y的尾数一定是0，则37x的尾数必须是1，结合选项，只有x=3才满足条件。
  4. 故正确答案为B。

例6：（2020广东）某部门正在准备会议材料，共有153份相同的文件，需要装到大小两种文件袋里送至会场，大的每个能装24份文件，小的每个能装15份文件。如果要使每个文件袋都正好装满，则需要大文件袋（ ）个。

  1. A.2
  2. B.3
  3. C.5
  4. D.7
解析
  1. 设需要大文件袋x个，小文件袋y个，由题意可列式为：24x+15y=153，化简可得8x+5y=51。
  2. 这是一个不定方程，看到方程含5，利用倍数特性，5y的尾数0或5，51的尾数为1，推出8x的尾数6或1。
  3. 又根据奇偶性，8x为偶数，因此8x的尾数为6，因此排除BC选项。
  4. 验证：x=7，8x=56，y=-1，排除，选A。

例7：（2019黑龙江）某次田径运动会中，选手参加各单项比赛计入所在团体总分的规则为：一等奖得9分，二等奖得5分，三等奖得2分。甲队共有10位选手参赛，均获奖。现知甲队最后总分为61分，问该队最多有几位选手获得一等奖？

  1. A. 3
  2. B. 4
  3. C. 5
  4. D. 6
解析
  1. 设获得一等奖、二等奖、三等奖的人数分别为x、y、z，根据题意得：
  2. x+y+z=10
  3. 9x+5y+2z=61
  4. 不定方程组，并且未知数为整数，整理两式，消去z得：7x+3y=41。
  5. 问获得一等奖人数最多，考虑从大到小代入:
  6. 代入D项，若x=6，代入7x+3y=41，y为负且不是整数，排除;
  7. 代入C项，若x=5，代入7x+3y=41，解得y=2，z=3，符合题意。
  8. 故正确答案为C。

例8：（2018上海）现有甲、乙、丙三种货物，若购买甲1件、乙3件、丙7件共需200元；若购买甲2件、乙5件、丙11件共需350元。则购买甲、乙、丙各1件共需_____元。

  1. A. 50
  2. B. 100
  3. C. 150
  4. D. 200
解析
  1. 根据题干条件，假设甲、乙、丙的价格依次是x、y、z元，则根据题意可列不定方程组：
  2. x+3y+7z=200…①
  3. 2x+5y+11z=350…②
  4. 方法一：配系数法
    1. ①×2-②可得y+3z=50……③
    2. ①-③×2可得：x+y+z=100元
    3. 故正确答案为B。
  5. 方法二：赋0法
    1. 钱数x、y、z不一定为整数。可以采用赋零法，赋丙的价格为0，即z=0。原方程组转化为
    2. x+3y=200
    3. 2x+5y=350
    4. 解得：x=50，y=50。可得:x+y+z=50+50+0=100元
    5. 故正确答案为B。

例9：（2019浙江15%）某地鼓励农户种植果树，规定每个自然年末种植果树面积比年初增加 5 亩，农民可得到 2000 元奖金，且超出 5 亩后每增加 1 亩可额外获得 x 元奖金。已知每个自然年种植的果树，从下一自然年起每亩每年可获得 y 元的果树收入。某农户第一年开始种植果树，当年种植 10 亩，获奖金 3500 元；第二年种植面积扩大 16 亩；第三年种植面积又扩大 15 亩，年收入比第一年的 16 倍多 1000 元。则以下哪个不等式能准确描述 x 与 y 的关系（ ）（注：年收入 = 奖金 + 果树收入）

  1. A. x ＜ 0.2y
  2. B. 0.2y ≤ x ＜ 0.5y
  3. C. 0.5y ≤ x ＜ y
  4. D. x ≥ y
解析
  1. ，解得 x=300， 即超出5亩后每亩可额外获得 300元奖金。
  2. 第三年农民种植面积扩大15亩，增加5亩部分奖金依然为2000元，超出 15 - 5 = 10亩，额外奖金数 = 10x =3000元，此时第三年果树收入应该由第一年的果树10亩和第二年新增的果树16亩获得，则第三年果树收入 = （10 + 16）× y，所以第三年年收入 = 2000 + 3000 + 26y
  3. 根据题干条件第三年年收入比第一年的16倍还多1000元，得到等式：2000 + 3000 + 26y = 3500 x 16 + 1000，整理可得：5000 + 26y = 57000，解得 y=2000。
  4. 综上可知：x = 300，y=2000；结合选项，只有A符合。

例10：（2019江苏）某机关事务处集中采购了一批打印纸，分发给各职能部门。如果按每个部门9包分发，则多6包；如果按每个部门11包分发，则有1个部门只能分到1包。这批打印纸的数量是：

  1. A. 87包
  2. B. 78包
  3. C. 69包
  4. D. 67包
解析
  1. 方法一：方程法。
    1. 题目理解为“每个部门发9包、多出6包，每个部门发11包、缺少10包”，假设部门数为x，有等式：9x+6=11x-10，解得x=8，带入9x+6=78（包），选B。
  2. 方法二：盈亏思维。
    1. 根据盈亏公式，部门数=（6+10）/（11-9）=8个，打印纸总数=8×9+6=78包，选B。

例11：（2021国家40%）商业街物业管理处采购了一批消毒液发放给街内的复工商户，如果每个商户分6瓶，最后剩余12瓶。如果多采购30%，则在给每个商户分8瓶后还能剩余10瓶。如果多采购80%，复工商户数量增加10家，且每个商户分到的数量相同，问每个商户最多可以分多少瓶？

  1. A. 8
  2. B. 9
  3. C. 10
  4. D. 12
解析
  1. 方法一：方程法。
    1. 设复工商户为x家，采购的消毒液为y瓶，根据题意“如果每个商户分6瓶，最后剩余12瓶。
    2. 如果多采购30%，则在给每个商户分8瓶后还能剩余10瓶。可列方程组：
    3. 6x+12=y...①
    4. 8x+10=（1+30%）y...②
    5. 联立方程组，解得x=28，y=180。
    6. 根据题意“如果多采购80%，复工商户数量增加10家，且每个商户分到的数量相同”，则有采购消毒液瓶数=180×（1+80%）=324瓶，复工商户数=28+10=38家。
    7. 则324÷38=8...20。要使每个商户分到的数量相同，则每个商户最多可以分8瓶。故正确答案为A。
  2. 方法二：盈亏思维。
    1. 如果总量增加30%的情况下，那么每个商户就可以分到6×（1+30%）=7.8瓶，剩余12×（1+30%）=15.6瓶。与每个商户分8瓶后还能剩余10瓶。直接盈亏。
    2. 代入公式：商户数=（15.6-10）÷（8-7.8）=28（户）
    3. 现在增加80% ，则每个商户分到6×（1+80%）=10.8瓶，剩余12×（1+80%）=21.6瓶。
    4. 现在总瓶为10.8×28+21.6=324。
    5. 那么增加10家，则324÷38的首位为8，则每个商户最多可以分8瓶。故正确答案为A。

例12：（2018国家）枣园每年产枣2500公斤，每公斤固定盈利18元。为了提高土地利用率，现决定明年在枣树下种植紫薯（产量最大为10000公斤），每公斤固定盈利3元。当紫薯产量大于400公斤时，其产量每增加n公斤将导致枣的产量下降0.2n公斤。问该枣园明年最多可能盈利多少元？

  1. A. 46176
  2. B. 46200
  3. C. 46260
  4. D. 46380
解析
  1. 当紫薯产量大于400公斤时，每增加n公斤将导致枣的产量下降0.2n公斤。
  2. 假设紫薯的产量为（400+n）公斤，则此时枣的产量为（2500-0.2n）公斤。
  3. 则总盈利为18×（2500-0.2n）+3×（400+n）=46200-0.6n，即f（x）=-0.6n+46200，n ∈ [0，+∞]
  4. 根据一次函数极值可知，f(0)时可取得最大值。此时总盈利为46200元。
  5. 故正确答案为B。

例13：（2019深圳）某类商品按质量分为8个档次，最低档次商品每件可获利8元，每提高一个档次，则每件商品的利润增加2元。最低档次商品每天可产出60件，每提高一个档次，则日产量减少5件。若只生产其中某一档次的商品，则每天能获得的最大利润是（ ）元。

  1. A. 620
  2. B. 630
  3. C. 640
  4. D. 650
解析
  1. 假设提高了x个档次、每件利润增加2x元、产量减少5x件，总利润=（8+2x）（60-5x）=10×（4+x）（12-x），当a<0时，时，f(x)有最大值;
  2. 解一：令4+x和12-x等于0，求得x1=-4，x2=12，则最大值=（-4+12）÷2=4，代入f（4）=10×8×8=640
  3. 解二：求导，（4+x）（12-x）=48+8x-x^2，导数为8-2x，x=4时，取最大值，代入得f（4）=640

例14：（2024国考）某次考试有20道选择题和20道判断题，每题答对得3分，答错得0分，不答得1分。考生小王成绩为82分，且他选择题的答错数比答对数多，问他判断题至少答对了多少道？

  1. A. 17
  2. B. 18
  3. C. 15
  4. D. 14
解析
  1. 要让判断题答对的尽量少，则判断题的得分应尽量少，成绩82分一定，选择题的得分应尽量多，由于“选择题的答错数比答对数多”，则选择题最多答对9道，答错10道，不答1道，此时选择题得分最多为9×3+1=28分，判断题得分至少为82-28=54分。设判断题答对x道，答错y道，不答z道，可列方程组：
  2. 3x+z=54...①
  3. x+y+z=20...②
  4. ①-②可得：2x-y=34，要想x尽量小，则y尽量小，y最小取值为0，此时x=17，因此小王判断题至少答对了17道。
  5. 可以使用代入法：问至少，将选项从小到大依次代入，代入D项，y<0；代入C项，y<0；代入A项，y=0，x=17，满足条件。
  6. 故正确答案为A。

例15：（2025天津）某旅行团有游客15人，租用6辆车外出旅行，每辆车乘坐游客最多4人。已知每辆车至少乘坐1名游客，问乘坐2名游客的车辆至多有几辆？

  1. A. 1
  2. B. 2
  3. C. 3
  4. D. 4
解析
  1. 方法一：设乘坐1名游客的车有a辆，乘坐2名游客的车有b辆，乘坐3名游客的车有c辆，乘坐4名游客的车有d辆。根据题意可列式：a+b+c+d=6······①，a+2b+3c+4d=15······②，联立方程组，由②-①，得b+2c+3d=9······③。
  2. 求b的最大值，那就得让c和d最小，c和d可取值0、1、2、3、4...
  3. c和d是不可以取（0，0）、（0，1）、（1，0）、（2，0）、（0，2）的，因为有约束，总共租用6辆车，取这些值导致超过了题目条件。
  4. 那么此时最小的取值分别是（1，1）代入方程③，则c=d=1，b=4。则a=6-1-1-4=0。
  5. 则乘坐1名游客的车有0辆，乘坐2名游客的车有4辆，乘坐3名游客的车有1辆，乘坐4名游客的车有1辆，满足题干条件。
  6. 可以使用代入法：求b的最大值，将选项从大到小依次代入，代入D项，若b=4，则2c+3d=5，可取值c=d=1，代入①解得a=0，满足题干条件。
  7. 故正确答案为D。