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方程思想 ​

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  1.   数学运算的大部分题型，都可以使用方程法思想来解答，掌握基本的，准确找出题目中的等量关系进行列式，是数学运算中最重要的方法。其中，对于一些典型题型，如“盈亏问题”、“鸡兔同笼问题”、和差倍比问题“等等，使用方程法思想解题才是最快的。

一、基本方程 ​

  1. 1、一个未知数：
    1. （1）
    2. （2）
    3. （3）
  1. 2、多个未知数：
    1. （1）存在多个未知数，设x、y、z。
    2. （2）建立方程组，抓住问题求解未知数。

二、不定方程 ​

不定方程是数学中一类或未知数受到特定限制(如整数、正数等)的方程或方程组,其核心特点在于解的不唯一性。

  1. 1、不定方程：

    1. 形式：ax+by=m
    2. 解不定方程问题常用的解法：综合利用、等多种数学知识来得到答案。

  2. 3、不定方程组：

    1. {ax+by+cz=mdx+ey+fz=n
    2. 未知数一般是整数就。
    3. 未知数如果是小数（时间、单价），可以采用。

    4. 拓展：为什么可以使用赋零法？
      因为小数具有连续性。
      比如方程3x + 5y = 1，当未知数为整数时，我们令y=0，解得x=1/3，即(1/3, 0)是一个解，但这不是整数解。
      如果未知数是小数，方程有无数组解，随便找一组即可，而0最简单，因此可以用赋零法。
      建议使用时让最复杂的未知数为0，代入进行计算。而配系数法中系数是凑出来的，若考场上无法凑出来，则无法求解，因此建议用赋零法解题。

三、扩展：盈亏思维 ​

  1. 1、什么是盈亏：把若干物体平均分给一定数量的对象，并不是每次都能正好分完。如果。

  2. 2、题型特征：给出某物体的两种分配标准和结果，来求物体数量和参与分配的对象数量。由于每次分配都可能出现这三种情况，那么就会有多种结果的组合。

  3. 3、基本公式：此类问题本质可以使用方程来解，如果记住公式遇到此类题会比方程法做得更快。

    1. 类型公式
      一盈一亏型盈数+亏数两次分配数的差=对象数
      两次皆盈型大盈−小盈两次分配数的差=对象数
      两次皆亏型大亏−小亏两次每人分配数的差=对象数
      一盈一尽型盈数两次分配数的差=对象数
      一亏一尽型亏数两次分配数的差=对象数
    2. 例：小朋友分糖果，每人分5颗（）剩余12颗（），每人分8颗（）少6颗（），问有多少个小朋友？
    3. 分析：可以使用方程法，设糖果x颗，小朋友y个，列出两个方程即可接近。这里我们使用盈亏问题的公式一盈一亏型：盈数+亏数两次每人分配数的差=对象数，及12+68-5=6（个）。

  4. 4、注意：

    1. （1）：题目看不出“盈”或“亏”，那么需要转化为标准的盈亏问题。例如“每船坐4人则多出2人；若减少1条船则每船坐6人刚好把人全带上。问有多少人？”这里的“减少1条船则每船坐6人刚好把人全带上”需要转化成“每船坐6人则剩6人“（减少1条船，那就补上一条船，那么就少6人），那么（6+2）÷（6-4）=4条船，注意这里的对象数是船，代入4×4+2=18人”。
    2. （2）：前面都是给分两种情况，而分步就是按照第一步，再第二步来完成。例如”先每人发2本书，剩余10本；再补发每人3本，最后少5本，有多少学生？“这里的先...再...就是分步，第二步补发每人3本，那不就是每人发5本少了5本，那么（10+5）÷（5-2）=5人。

四、随笔练习 ​

例1：（2024黑龙江）某包装车间包装甲、乙两种规格的袋装杂粮，甲、乙两袋杂粮的重量之比为5：2，如果从甲袋中称出2公斤放入乙袋后，甲、乙两袋杂粮的重量之比变为4：3。问甲袋杂粮原来重量为：

  1. A.8公斤
  2. B.10公斤
  3. C.12公斤
  4. D.15公斤
解析
  1. 设原来甲、乙两袋杂粮的重量分别为5x公斤和2x公斤。
  2. 如果从甲袋中称出2公斤放入乙袋后，甲、乙两袋杂粮的重量之比变为4：3。可列式：5x−22x+2=43，解得x=2。
  3. 则甲袋杂粮原来重量为5x=5×2=10公斤。
  4. 故正确答案为B。

例2：（2018四川）甲车间的生产效率是乙车间的 1.5 倍，分别生产 1200 件相同的产品，甲车间所需时间比乙车间少 10 天。问甲、乙两个车间合作生产 3000 件相同的产品需要多少天？（ ）

  1. A.20
  2. B.25
  3. C.30
  4. D.35
解析
  1. 工作量 = 工作效率 × 工作时间，设。
  2. 由题意可知，1200÷2x-1200÷3x=10，解得 x=20。
  3. 即甲车间每天生产 3×20=60 件，乙车间每天生产2×20=40 件。
  4. 故题干所求为 3000÷（60+40）=30 天。
  5. 故本题选 C。

例3：（2019山东选调）某工厂生产过程中需要用到 A、B、C 三种零件，工厂仓库中原有三种零件的数量比为 1：2：3，现在采购部门新购进一批零件，新购进三种零件的数量比是 3：2：4，工厂每天使用的三种零件数量相同，当 A 零件用完的时候，B 零件还剩下 10 个，C 零件还剩下 170 个，请问工厂仓库中原有 A、B、C 零件各多少个？（ ）

  1. A. 40，80，120
  2. B. 50，100，150
  3. C. 60，120，180
  4. D. 70，140，210
解析
  1. 设原有三种零件的数量分别为，由于每天使用的三种零件数量相同，所以 A、B、C 三种零件使用的总量相同。
  2. （2x+2y）-（x+3y）=10....①
  3. （3x+4y）-（x+3y）=170....②
  4. 解得 x=60，y=50。所以原有三种零件的数量分别为 60、120、180。
  5. 选 C。

例4：（2020深圳）某快递集散点有一批包裹，由甲、乙、丙三名快递员各自独立完成送达。其中有93件不是甲派送的，92件不是乙派送的，91件不是丙派送的，则甲派送了（ ）件。

  1. A. 44
  2. B. 45
  3. C. 46
  4. D. 47
解析
  1. 设甲、乙、丙分别派送了x、y、z件包裹，由题意可知，有93件不是甲派送的，即由乙和丙共派送93件；同理有92件不是乙派送的，即由甲和丙共派送92件；有91件不是丙派送的，即由甲和乙共派送91件。则可列方程组为:
  2. {y+z=93x+z=92x+y=91
  3. 解得x=45。故正确答案为B。

例5：（2009浙江）有271位游客欲乘大、小两种客车旅游，已知大客车有37个座位，小客车有20个座位。为保证每位乘客均有座位，且车上没有空座，则需大客车的辆数是：

  1. A.1辆
  2. B.3辆
  3. C.2辆
  4. D.4辆
解析
  1. 设大客车有x辆，小客车有y辆。
  2. 根据题意可列方程：37x+20y=271。
  3. 这是一个不定方程，20y的尾数一定是0，则37x的尾数必须是1，结合选项，只有x=3才满足条件。
  4. 故正确答案为B。

例6：（2020广东）某部门正在准备会议材料，共有153份相同的文件，需要装到大小两种文件袋里送至会场，大的每个能装24份文件，小的每个能装15份文件。如果要使每个文件袋都正好装满，则需要大文件袋（ ）个。

  1. A.2
  2. B.3
  3. C.5
  4. D.7
解析
  1. 设需要大文件袋x个，小文件袋y个，由题意可列式为：24x+15y=153，化简可得8x+5y=51。
  2. 这是一个不定方程，看到方程含5，利用倍数特性，5y的尾数0或5，51的尾数为1，推出8x的尾数6或1。
  3. 又根据奇偶性，8x为偶数，因此8x的尾数为6，因此排除BC选项。
  4. 验证：x=7，8x=56，y=-1，排除，选A。

例7：（2019黑龙江）某次田径运动会中，选手参加各单项比赛计入所在团体总分的规则为：一等奖得9分，二等奖得5分，三等奖得2分。甲队共有10位选手参赛，均获奖。现知甲队最后总分为61分，问该队最多有几位选手获得一等奖？

  1. A. 3
  2. B. 4
  3. C. 5
  4. D. 6
解析
  1. 设获得一等奖、二等奖、三等奖的人数分别为x、y、z，根据题意得：
  2. x+y+z=10
  3. 9x+5y+2z=61
  4. 不定方程组，并且未知数为整数，整理两式，消去z得：7x+3y=41。
  5. 问获得一等奖人数最多，考虑从大到小代入:
  6. 代入D项，若x=6，代入7x+3y=41，y为负且不是整数，排除;
  7. 代入C项，若x=5，代入7x+3y=41，解得y=2，z=3，符合题意。
  8. 故正确答案为C。

例8：（2018上海）现有甲、乙、丙三种货物，若购买甲1件、乙3件、丙7件共需200元；若购买甲2件、乙5件、丙11件共需350元。则购买甲、乙、丙各1件共需_____元。

  1. A. 50
  2. B. 100
  3. C. 150
  4. D. 200
解析
  1. 根据题干条件，假设甲、乙、丙的价格依次是x、y、z元，则根据题意可列不定方程组：
  2. 2+3y+72=200…①
  3. 2x+5y+11z=350…②
  4. 方法一：配系数法
    1. ①×2-②可得y+32z=50……③
    2. ①-③×2可得：x+y+z=100元
    3. 故正确答案为B。
  5. 方法二：赋0法
    1. 钱数x、y、z不一定为整数。可以采用赋零法，赋丙的价格为0，即z=0。原方程组转化为
    2. x+3y=200
    3. 2x+5y=350
    4. 解得：x=50，y=50。可得:x+y+z=50+50+0=100元
    5. 故正确答案为B。

例9：（2019浙江15%）某地鼓励农户种植果树，规定每个自然年末种植果树面积比年初增加 5 亩，农民可得到 2000 元奖金，且超出 5 亩后每增加 1 亩可额外获得 x 元奖金。已知每个自然年种植的果树，从下一自然年起每亩每年可获得 y 元的果树收入。某农户第一年开始种植果树，当年种植 10 亩，获奖金 3500 元；第二年种植面积扩大 16 亩；第三年种植面积又扩大 15 亩，年收入比第一年的 16 倍多 1000 元。则以下哪个不等式能准确描述 x 与 y 的关系（ ）（注：年收入 = 奖金 + 果树收入）

  1. A. x ＜ 0.2y
  2. B. 0.2y ≤ x ＜ 0.5y
  3. C. 0.5y ≤ x ＜ y
  4. D. x ≥ y
解析
  1. ，解得 x=300， 即超出5亩后每亩可额外获得 300元奖金。
  2. 第三年农民种植面积扩大15亩，增加5亩部分奖金依然为2000元，超出 15 - 5 = 10亩，额外奖金数 = 10x =3000元，此时第三年果树收入应该由第一年的果树10亩和第二年新增的果树16亩获得，则第三年果树收入 = （10 + 16）× y，所以第三年年收入 = 2000 + 3000 + 26y
  3. 根据题干条件第三年年收入比第一年的16倍还多1000元，得到等式：2000 + 3000 + 26y = 3500 x 16 + 1000，整理可得：5000 + 26y = 57000，解得 y=2000。
  4. 综上可知：x = 300，y=2000；结合选项，只有A符合。

例10：（2019江苏）某机关事务处集中采购了一批打印纸，分发给各职能部门。如果按每个部门9包分发，则多6包；如果按每个部门11包分发，则有1个部门只能分到1包。这批打印纸的数量是：

  1. A. 87包
  2. B. 78包
  3. C. 69包
  4. D. 67包
解析
  1. 方法一：方程法。
    1. 题目理解为“每个部门发9包、多出6包，每个部门发11包、缺少10包”，假设部门数为x，有等式：9x+6=11x-10，解得x=8，带入9x+6=78（包），选B。
  2. 方法二：盈亏思维。
    1. 根据盈亏公式，部门数=（6+10）/（11-9）=8个，打印纸总数=8×9+6=78包，选B。

例11：（2021国家40%）商业街物业管理处采购了一批消毒液发放给街内的复工商户，如果每个商户分6瓶，最后剩余12瓶。如果多采购，则在给每个商户分8瓶后还能剩余10瓶。如果多采购，复工商户数量增加10家，且每个商户分到的数量相同，问每个商户最多可以分多少瓶？

  1. A. 8
  2. B. 9
  3. C. 10
  4. D. 12
解析
  1. 方法一：方程法。
    1. 设复工商户为x家，采购的消毒液为y瓶，根据题意“如果每个商户分6瓶，最后剩余12瓶。
    2. 如果多采购30%，则在给每个商户分8瓶后还能剩余10瓶。可列方程组：
    3. 6x+12=y...①
    4. 8x+10=（1+30%）y...②
    5. 联立方程组，解得x=28，y=180。
    6. 根据题意“如果多采购80%，复工商户数量增加10家，且每个商户分到的数量相同”，则有采购消毒液瓶数=180×（1+80%）=324瓶，复工商户数=28+10=38家。
    7. 则324÷38=8...20。要使每个商户分到的数量相同，则每个商户最多可以分8瓶。故正确答案为A。
  2. 方法二：盈亏思维。
    1. 如果总量增加30%的情况下，那么每个商户就可以分到6×（1+30%）=7.8瓶，剩余12×（1+30%）=15.6瓶。与每个商户分8瓶后还能剩余10瓶。直接盈亏。
    2. 代入公式：商户数=（15.6-10）÷（8-7.8）=28（户）
    3. 现在增加80% ，则每个商户分到6×（1+80%）=10.8瓶，剩余12×（1+80%）=21.6瓶。
    4. 现在总瓶为10.8×28+21.6=324。
    5. 那么增加10家，则324÷38的首位为8，则每个商户最多可以分8瓶。故正确答案为A。