方程思想

1.   数学运算的大部分题型，都可以使用方程法思想来解答，掌握基本的，准确找出题目中的等量关系进行列式，是数学运算中最重要的方法。其中，对于一些典型题型，如“盈亏问题”、“鸡兔同笼问题”、和差倍比问题“等等，使用方程法思想解题才是最快的。

一、基本方程

1. 1、一个未知数：

   1. （1）
   2. （2）
   3. （3）

2. 2、多个未知数：

   1. （1）存在多个未知数，设$x、y、z$
   2. （2）抓住问题求解

二、不定方程

不定方程是数学中一类或未知数受到特定限制(如整数、正数等)的方程或方程组,其核心特点在于解的不唯一性。

1. 1、不定方程：

   1. 形式：$ax+by=m$
   2. 解不定方程问题常用的解法：综合利用、等多种数学知识来得到答案。

2. 3、不定方程组：

   1. $\{\begin{array}{l}ax+by+cz=m\\ dx+ey+fz=n\end{array}$
   2. 未知数一般是整数就。
   3. 未知数如果是小数（时间、单价），可以采用。

   4. 拓展：为什么可以使用赋零法？
      因为小数具有连续性。
      比如方程3x + 5y = 1，当未知数为整数时，我们令y=0，解得x=1/3，即(1/3, 0)是一个解，但这不是整数解。
      如果未知数是小数，方程有无数组解，随便找一组即可，而0最简单，因此可以用赋零法。
      建议使用时让最复杂的未知数为0，代入进行计算。而配系数法中系数是凑出来的，若考场上无法凑出来，则无法求解，因此建议用赋零法解题。

三、随笔练习

例1：（2024黑龙江）某包装车间包装甲、乙两种规格的袋装杂粮，甲、乙两袋杂粮的重量之比为5：2，如果从甲袋中称出2公斤放入乙袋后，甲、乙两袋杂粮的重量之比变为4：3。问甲袋杂粮原来重量为：

1. A.8公斤
2. B.10公斤
3. C.12公斤
4. D.15公斤

解析

6. 设原来甲、乙两袋杂粮的重量分别为5x公斤和2x公斤。
7. 如果从甲袋中称出2公斤放入乙袋后，甲、乙两袋杂粮的重量之比变为4：3。可列式：$\frac{5x-2}{2x+2}$=$\frac{4}{3}$，解得x=2。
8. 则甲袋杂粮原来重量为5x=5×2=10公斤。
9. 故正确答案为B。

例2：（2018四川）甲车间的生产效率是乙车间的 1.5 倍，分别生产 1200 件相同的产品，甲车间所需时间比乙车间少 10 天。问甲、乙两个车间合作生产 3000 件相同的产品需要多少天？（ ）

1. A.20
2. B.25
3. C.30
4. D.35

解析

6. 工作量 = 工作效率 × 工作时间，设。
7. 由题意可知，1200÷2x-1200÷3x=10，解得 x=20。
8. 即甲车间每天生产 3×20=60 件，乙车间每天生产2×20=40 件。
9. 故题干所求为 3000÷（60+40）=30 天。
10. 故本题选 C。

例3：（2019山东选调）某工厂生产过程中需要用到 A、B、C 三种零件，工厂仓库中原有三种零件的数量比为 1：2：3，现在采购部门新购进一批零件，新购进三种零件的数量比是 3：2：4，工厂每天使用的三种零件数量相同，当 A 零件用完的时候，B 零件还剩下 10 个，C 零件还剩下 170 个，请问工厂仓库中原有 A、B、C 零件各多少个？（ ）

1. A. 40，80，120
2. B. 50，100，150
3. C. 60，120，180
4. D. 70，140，210

解析

6. 设原有三种零件的数量分别为，由于每天使用的三种零件数量相同，所以 A、B、C 三种零件使用的总量相同。
7. （2x+2y）-（x+3y）=10....①
8. （3x+4y）-（x+3y）=170....②
9. 解得 x=60，y=50。所以原有三种零件的数量分别为 60、120、180。
10. 选 C。

例4：（2020深圳）某快递集散点有一批包裹，由甲、乙、丙三名快递员各自独立完成送达。其中有93件不是甲派送的，92件不是乙派送的，91件不是丙派送的，则甲派送了（ ）件。

1. A. 44
2. B. 45
3. C. 46
4. D. 47

解析

6. 设甲、乙、丙分别派送了x、y、z件包裹，由题意可知，有93件不是甲派送的，即由乙和丙共派送93件；同理有92件不是乙派送的，即由甲和丙共派送92件；有91件不是丙派送的，即由甲和乙共派送91件。则可列方程组为:
7. $\{\begin{array}{l}y+z=93\\ x+z=92\\ x+y=91\end{array}$
8. 解得x=45。故正确答案为B。

例5：（2009浙江）有271位游客欲乘大、小两种客车旅游，已知大客车有37个座位，小客车有20个座位。为保证每位乘客均有座位，且车上没有空座，则需大客车的辆数是：

1. A.1辆
2. B.3辆
3. C.2辆
4. D.4辆

解析

5. 设大客车有x辆，小客车有y辆。
6. 根据题意可列方程：37x+20y=271。
7. 这是一个不定方程，20y的尾数一定是0，则37x的尾数必须是1，结合选项，只有x=3才满足条件。
8. 故正确答案为B。

例6：（2020广东）某部门正在准备会议材料，共有153份相同的文件，需要装到大小两种文件袋里送至会场，大的每个能装24份文件，小的每个能装15份文件。如果要使每个文件袋都正好装满，则需要大文件袋（ ）个。

1. A.2
2. B.3
3. C.5
4. D.7

解析

5. 设需要大文件袋x个，小文件袋y个，由题意可列式为：24x+15y=153，化简可得8x+5y=51。
6. 这是一个不定方程，看到方程含5，利用倍数特性，5y的尾数0或5，51的尾数为1，推出8x的尾数6或1。
7. 又根据奇偶性，8x为偶数，因此8x的尾数为6，因此排除BC选项。
8. 验证：x=7，8x=56，y=-1，排除，选A。

例7：（2019黑龙江）某次田径运动会中，选手参加各单项比赛计入所在团体总分的规则为：一等奖得9分，二等奖得5分，三等奖得2分。甲队共有10位选手参赛，均获奖。现知甲队最后总分为61分，问该队最多有几位选手获得一等奖？

1. A. 3
2. B. 4
3. C. 5
4. D. 6

解析

5. 设获得一等奖、二等奖、三等奖的人数分别为x、y、z，根据题意得：
6. x+y+x=10
7. 9x+5y+2z=61
8. 不定方程组，并且未知数为整数，整理两式，消去z得：7x+3y=41。
9. 问获得一等奖人数最多，考虑从大到小代入:
10. 代入D项，若x=6，代入7x+3y=41，y为负且不是整数，排除;
11. 代入C项，若x=5，代入7x+3y=41，解得y=2，z=3，符合题意。
12. 故正确答案为C。

例8：（2018上海）现有甲、乙、丙三种货物，若购买甲1件、乙3件、丙7件共需200元；若购买甲2件、乙5件、丙11件共需350元。则购买甲、乙、丙各1件共需_____元。

1. A. 50
2. B. 100
3. C. 150
4. D. 200

解析

6. 根据题干条件，假设甲、乙、丙的价格依次是x、y、z元，则根据题意可列不定方程组：
7. 2+3y+72=200…①
8. 2x+5y+11z=350…②
9. 方法一：配系数法
   1. ①×2-②可得y+32z=50……③
   2. ①-③×2可得：x+y+z=100元
   3. 故正确答案为B。
10. 方法二：赋0法
    1. 钱数x、y、z不一定为整数。可以采用赋零法，赋丙的价格为0，即z=0。原方程组转化为
    2. x+3y=200
    3. 2x+5y=350
    4. 解得：x=50，y=50。可得:x+y+z=50+50+0=100元
    5. 故正确答案为B。

例9：（2019浙江15%）某地鼓励农户种植果树，规定每个自然年末种植果树面积比年初增加 5 亩，农民可得到 2000 元奖金，且超出 5 亩后每增加 1 亩可额外获得 x 元奖金。已知每个自然年种植的果树，从下一自然年起每亩每年可获得 y 元的果树收入。某农户第一年开始种植果树，当年种植 10 亩，获奖金 3500 元；第二年种植面积扩大 16 亩；第三年种植面积又扩大 15 亩，年收入比第一年的 16 倍多 1000 元。则以下哪个不等式能准确描述 x 与 y 的关系（ ）（注：年收入 = 奖金 + 果树收入）

1. A. x ＜ 0.2y
2. B. 0.2y ≤ x ＜ 0.5y
3. C. 0.5y ≤ x ＜ y
4. D. x ≥ y

解析

5. ，解得 x=300， 即超出5亩后每亩可额外获得 300元奖金。
6. 第三年农民种植面积扩大15亩，增加5亩部分奖金依然为2000元，超出 15 - 5 = 10亩，额外奖金数 = 10x =3000元，此时第三年果树收入应该由第一年的果树10亩和第二年新增的果树16亩获得，则第三年果树收入 = （10 + 16）× y，所以第三年年收入 = 2000 + 3000 + 26y
7. 根据题干条件第三年年收入比第一年的16倍还多1000元，得到等式：2000 + 3000 + 26y = 3500 x 16 + 1000，整理可得：5000 + 26y = 57000，解得 y=2000。
8. 综上可知：x = 300，y=2000；结合选项，只有A符合。