幂次数列

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   幂次数列在数字推理中难度较高，大概每年1道，考查形式多样，属于数字推理题目中的难点。

一、题型特征

1. 1、数列呈递增趋势且变化幅度较大

2. 2、数字本身是幂次数

3. 3、数字在幂数附近：需要通过幂次数再做一些简单计算才能得到的，称为修正幂次。

二、解题技巧

1. 1、普通幂次：直接转化成 $x^n$找规律。
2. 2、修正幂次：，再找规律；比如170=${13}^2$+1

三、特殊幂次

1. 1~16的平方数：1、4、9、16、25、36、49、64、81、100、121、144、169、196、225、256

2. 1~10的立方数：1、8、27、64、125、216、343、512、729、1000

3. 2的1~10次幂：2、4、8、16、32、64、128、256、512、1024

4. 3的1~6次幂：3、9、27、81、243、729

5. 4的1~5次幂：4、16、64、256、1024

6. 5的1~5次幂：5、25、125、625、3125

7. 6的1~4次幂：6、36、216、1296

8. 7的1~3次幂：7、49、343

9. 8的1~3次幂：8、64、512

10. 9的1~3次幂：9、81、729

11. 64既是8的平方，又是4的立方

12. 256既是16的平方，又是2的8次方，又是4的4次方

13. 常数0：$0=0^n$，0是0的任意自然数次方，0的0次方是没有意义的，因此n不等于0。

14. 常数1：$1=n^0=1^a=(-1{)}^{2a}$，n不等于0。

15. 负幂次：$\frac{1}{a}$=$a^{-1}$，a不等于0，比如$\frac{1}{3}$=$3^{-1}$

16. ‌根号转幂：$a^{\frac{m}{n}}$=ⁿ$\sqrt{a^m}$，比如$3^{\frac{1}{2}}$=$\sqrt{3}$；$3^{\frac{1}{3}}$=³$\sqrt{3}$

四、随笔练习

例1：（2020江苏）1、1、4、9、25、（）

1. A.64
2. B.49
3. C.81
4. D.121

解析

5. 观察数列，发现4、9、25都是平方数，因此考虑幂次数列。
6. 原数列前五项可转化为 $1^2$、$1^2$ 、$2^2$、 $3^2$、 $5^2$，观察此数列，发现底数存在规律：1＋1＝2，1＋2＝3，2＋3＝5，。
7. 因此该数列的下一项为$(3+5{)}^2$，即题干所求项为64。故正确答案为A。

例2：（2019深圳）3、10、29、84、（）

1. A.166
2. B.247
3. C.275
4. D.280

解析

5. 发现题干，因此考虑。
6. 原数列已知项可转化为$3^1$ + 0、$3^2$ + 1、 $3^3$ + 2 、 $3^4$ + 3。
7. 幂次部分的底数均为3，指数为连续自然数，则指数下一项为5；
8. 修正部分为连续非负整数，则修正部分的下一项为4。
9. 故题干所求项应为$3^5$ + 4 =247。故正确答案为B。

例3：（2016深圳）1、5、18、67、（）

1. A.258
2. B.259
3. C.260
4. D.261

解析

5. 发现数列呈递增趋势且变化幅度较大。虽然没有幂次数，但是数列，如5在4附近，18在16附近，因此考虑修正幂次。
6. 将原数列已知项转化为1+0、4+1 16+2、64+3，即$1^2$ + 0、 $2^2$ + 1 $4^2$ + 2、$8^2$ + 3$。
7. 幂次项指数不变，底数分别为1、2、4、8，构成公比为2的等比数列，故下一项为16；
8. 修正项为0、1、2、3，即是公差为1的等差数列，故下一项为4。
9. 因此题干所求项应为${16}^2$ + 4 = 260 。故正确答案为C。

例4：（2018广州）3、11、13、29、（）

1. A.31
2. B.34
3. C.38
4. D.41

解析

5. 发现数列依次递增，且
6. 观察发现，题干数列可转化为$2^2$ - 1、 $3^2$ + 2、 $4^2$ - 3、$5^2$ + 4。
7. 幂次项的底数构成公差为1的等差数列，其下一项为6；
8. 修正项为-1、2、-3、4，是正负交替的自然数列，其下一项为-5。
9. 故题干所求项应为$6^2$ - 5 = 31。故正确答案为A。

例6：（2014河北）15、26、35、50、63、（）

1. A.74
2. B.78
3. C.82
4. D.90

解析

5. 数列呈递增趋势，但是数列各项均在幂次数附近，如15在16附近，26在25附近，35在36附近，因此考虑修正幂次。
6. 题干数列分别为：$4^2$-1、$5^2$+1、$6^2$-1、$7^2$+1、$8^2$-1，故下一项所求应为：$9^2$+1=82。
7. 故正确答案为C。

例7：（2024深圳38%）25、4、1、1/2、（）

1. A.0
2. B.1/4
3. C.1/3
4. D.1

解析

5. 数列均为幂次数，优先考虑幂次数列。将原数列转化为：$5^2$、$4^1$、$3^0$、$2^{-1}$
6. 数列底数为：5，4，3，2，是公差为-1的等差数列，则所求项底数为1；
7. 指数为：2，1，0，-1，是公差为-1的等差数列，则所求项指数为-2。
8. 故所求项为$1^{-2}$=1。
9. 故正确答案为D。

例8：（2024浙江省）1/9，729，9，81，27，（ ）

1. A.27$\sqrt{3}$
2. B.36
3. C.36$\sqrt{3}$
4. D.45

解析

5. 数列变化起伏较大，且存在典型幂次数，优先考虑幂次数列。
6. 原数列可转化为：3⁻²，3⁶，3²，3⁴，3³，（ ）。
7. 数列的底数均为3。
8. 依次为：-2，6，2，4，3，（ ），无明显特征，考虑作差。后项减前项得到新数列：8，-4，2，-1，（ ），是公比为-0.5的等比数列。
9. 则所求项的为-1×（-0.5）+3=2/7。
10. 故所求项为$3^{\frac{7}{2}}$=$3^{7\times \frac{1}{2}}$=$\sqrt{3^7}$=27$\sqrt{3}$。
11. 故正确答案为A。