多级数列

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1. 多级数列是数字推理中考查频率最高的题型，每年必考，但难度不高，考查方式相对变化不大，各位需重点掌握。

一、题型特征

1. 没有明显特征的数列

二、解题技巧

1. 1、第一步：；如果数字之间成“倍数关系”时，优先做除法。多级数列经过做差、和、积、商之后，得到的一级数列一般都是简单的基础数列。

2. 2、第二步：对一级数列进行观察，如果数列变化无规律（注意一级数列可能是递推数列），可以再进行第一步的操作，得到二级数列。

三、随笔练习

例1：(2019河南司法所) 11、14、23、50、131、()

1. A.292
2. B.326
3. C.356
4. D.374

解析

5. 数列各项依次增加，无明显特征，所以考虑，观察结果再求解。
6. 将已知项两两作差，均用后一项数字减前一项数字，可得一级数列：3、9、27、81，此数列是公比为3的等比数列，则其下一项为81×3=243，题干所求项为131+243=374。
7. 选择D选项。

例2：(2017江苏) 4，5，7，16，80，（ ）

1. A.296
2. B.423
3. C.592
4. D.705

解析

5. 数列各项依次增加，无明显特征，所以考虑两两作差。
6. 后项减前项得到一级数列：1，2，9，64，出现9和64考虑幂次数列，可将新数列转化为$1^0$、$2^1$、$3^2$、$4^3$，故一级数列的下一项应为$5^4$。
7. 所求项为：80+$5^4$，计算尾数为5，只有D项符合 。

例3：(2009联考) 5，12，21，34，53，80，( )

1. A.121
2. B.115
3. C.119
4. D.117

解析

5. 数列没有明显特征，优先考虑做差，数列没有明显特征，再做差。如图所示：
6. 
7. 第二次做差数列是公差为2的等差数列，则二级数列下一项为8+2=10。
8. 一级数列的下一项为27+10=37，所求项为80+37=117。
9. 因此，选择D选项。

例4：(2018广州) 1，2，4，7，12，（ ）

1. A.18
2. B.19
3. C.20
4. D.21

解析

5. 数列无明显特征且起伏较小，优先考虑作差。
6. 作差后得到新数列为：1、2、3、5、（ ），为递推数列，则新数列下一项为：3+5=8，故所求项为：12+8=20。
7. 注意：作差得到的新数列1、2、3、5、（ ），容易被误判为质数列。但1既不是质数也不是合数，所以新数列不是质数列，不能推断出新数列下一项是7。
8. 故正确答案为C。

例5：(2015联考) 34、41、46、56、64、（ ）、88

1. A.75
2. B.77
3. C.79
4. D.81

解析

5. 数列起伏较小且无明显特征，考虑作差。
6. 作差后得到新数列7、5、10、8、（ ）、（ ）。
7. 新数列无规律，再次作差后得到新数列为：-2、5、-2、（ ）、（ ）。
8. 考虑为循环数列，因此二次作差后括号中所求数为-2、5、-2、5、-2，则首次作差后得到的一级数列为7、5、10、8、13、11。
9. 原数列括号内=63+13=88-11=77。
10. 故正确答案为B。

例6：(2017广州) 30，16，22，18，19，（ ）

1. A.16
2. B.16.5
3. C.17
4. D.17.5

解析

5. 数列无明显特征，考虑作差。后项 - 前项，得 -14，6，-1，1，（x）；
6. 再作差，后项 - 前项，得20，-10，5，（y），此数列为公比为 -0.5的等比数列。
7. 因此（y）=5 ×（-0.5）= -2.5，那么（x）= -2.5+1= -1.5，原数列=19-1.5=17.5。
8. 故正确答案为D。

例7：(2014浙江) 1，1，5，7，13，（ ）

1. A.15
2. B.17
3. C.19
4. D.21

解析

5. 数列起伏不大，考虑作差后并无规律，考虑两两相加。
6. 作和后得到新数列为：2、6、12、20、（x）
7. 数列无明显特征，继续作差后为：4、6、8、（y），为公差为2的等差数列，故下一项为y=8+2=10。
8. 则一级数列括号内应为x=20+10=30。
9. 原数列所求应为30-13=17。
10. 故正确答案为B。

例8：(2018新疆) 3、6、18、72、360、（）

1. A.2160
2. B.1800
3. C.1440
4. D.432

解析

5. 观察数列，。
6. 两两作商，后一项除以前一项得到新数列：2、3、4、5、（），该数列是公差为1的等差数列，故下一项为6，则题干所求项应为6×360=21600。
7. 故正确答案为A。

例9：(2019江苏) 8、2、1、1、2、（）

1. A.4
2. B.8
3. C.10
4. D.16

解析

5. 观察数列，发现两两之间有明显的倍数关系，例如8与2是4倍关系，2与1是2倍关系，1与1是1倍关系，1与2是$\frac{1}{2}$的关系，因此考虑作商。
6. 两两作商，前一项÷后一项得到新数列：4、2、1、 $\frac{1}{2}$、()，此数列是公比为$\frac{1}{2}$的等比数列，故新数列的下一项为$\frac{1}{4}$，则$\frac{2}{\mathrm{所}\mathrm{求}\mathrm{项}}=\frac{1}{4}$。
7. 所求项=8，故正确答案为B。

例10：(2025浙江) -7，1，11，24，42，67，（ ）

1. A.103
2. B.109
3. C.116
4. D.122

解析

5. 数列无明显特征，优先考虑多级数列，考虑作差。
6. 后项-前项得到一级数列：8，10，13，18，25，无明显特征。
7. 再次作差，新数列后项-前项得到二级数列：2，3，5，7，是连续质数数列，下一项为11。
8. 则一级数列下一项为25+11=36。
9. 原数列所求项为67+36=103。
10. 故正确答案为A。

例10：(2013浙江) 4，1，0，2，10，29，66，（ ）

1. A.101
2. B.116
3. C.125
4. D.130

解析

6. 故正确答案为D。
7. 注：此类题型要注意数列项数，项数为8，且无分组规律和交叉规律，则为三级数列，考查较少，难度较大，复习需注意。（若对应7项，则多为二级数列，考查较多）。