几何问题

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几何问题⭐⭐

一、公式定义

1. 1、：平面图形的边界长度，简单来说就是围绕一个平面图形的一圈长度。对于圆形，则指圆的边界，称为圆周长或圆周。

2. 2、：面积是对一个平面的表面多少的测量。 对立体物体所有表面的面积称表面积。 对立体物体最底下的面的面积称底面积。

3. 3、：表面积是指一个物体所有表面积的总和，包括平面和曲面上的面积。

4. 4、：体积是指物体所占空间的大小，即物体在三维空间中所占据的容积。体积是衡量物体占据空间多少的量，其国际单位制的基本单位是立方米，用符号m³表示。

平面图形

	周长公式	面积公式
长方形	(长＋宽)×2	长×宽
正方形	边长 ×4	边长×边长
三角形	三边长度之和	底边长×高÷2
平行四边形	四边长度之和	底边长×高
梯形	上底＋下底＋腰＋腰	(上底＋下底)×高÷2
圆	$\pi$×直径＝2$\pi r$	$\pi r²$
扇形		‌①圆心角公式：$\frac{n}{360}\pi r²$，n 是圆心角的度数 ‌②弧长公式：$l$×r÷2，$l$ 是扇形的弧长

立体图形

	表面积公式	体积公式
长方体	(长×宽＋长×高＋宽×高)×2	长×宽×高
正方体	棱长×棱长×6	棱长×棱长×棱长
圆柱体	上底面积＋下底面积＋侧面积	底面积×高
圆锥体	底面积＋侧面积	底面积×高÷3
球	4$\pi r²$	4$\pi r³$÷3

1. 拓展公式：
   1. （1）长方体体对角线长度=$\sqrt{a^2+b^2+c^2}$
   2. （2）圆锥体侧面积=$\pi rl$，$l$为圆锥的母线长。圆锥母线就是围成此圆锥所用扇形的半径
   3. （3）圆台侧面积=$\pi （R+r）l$。
      1. R：下底面半径
      2. r：上底面半径
      3. l：母线长度（可通过l＝$\sqrt{(R-r{)}^2+h^2}$计算，h为圆台高）‌

二、三角函数

sin、cos、tan

1. $sinA=\frac{\mathrm{对}\mathrm{边}}{\mathrm{斜}\mathrm{边}}=\frac{a}{c}$
2. $cosA=\frac{\mathrm{邻}\mathrm{边}}{\mathrm{斜}\mathrm{边}}=\frac{b}{c}$
3. $tanA=\frac{\mathrm{对}\mathrm{边}}{\mathrm{邻}\mathrm{边}}=\frac{a}{b}$

常用三角函数值

	30°	45°	60°
$sin$	$\frac{1}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$
$cos$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{1}{2}$
$tan$	$\frac{\sqrt{3}}{3}$	$1$	$\sqrt{3}$

余弦定理

1. 1、a²=b²+c²-2bc×$cosA$
2. 2、b²=a²+c²-2ac×$cosB$
3. 3、c²=a²+b²-2ab×$cosC$

三、图形定理

1. 1、三角形常用知识点

   1. （1） 两边之和大于第三边，两边之差小于第三边
   2. （2） 三角形内角和为 180°，外角和360°
   3. （3） 勾股定理（直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方）： a² + b² = c²
      1. ①常用勾股数：
      2. ②特殊角直角三角形三边关系：如果∠ = 30°，三边的比例是1：$\sqrt{3}$：2。如果∠ = 45°，三边的比例是1：1：$\sqrt{2}$。
   4. （4） 正三角形：三边相等，三个角60°，边长=$\frac{2h}{\sqrt{3}}$，h为正三角形的高
   5. （5） 相似三角形：两个三角形的两个角分别对应相等，则三角形相似
      1. ①面积比等于边长平方之比，体积比等于边长立方之比。
      2. ②三角形的中位线平行于底边，且等于底边的一半。

2. 2、将一个图形尺度扩大为N倍

   1. （1） 对应角度不变
   2. （2） 对应周长变为原来的N倍
   3. （3） 面积变为原来的N×N倍
   4. （4） 体积变为原来的N×N×N倍

拓展：任意四边形蝴蝶定理

在一个任意四边形ABCD中，对角线交点为O。
①S△AOB：S△AOD=S△BOC：S△COD或S△AOB×S△AOD=S△BOC×S△COD
②AO：OC=S△AOB：S△BOC=S△AOD：S△COD=(S△AOB+S△AOD)：(S△BOC+S△COD)
可以简记为 左边：右边=左和：右和

四、最值理论

1. 1、平面图形中：
   1. （1）当周长一定时，平面图形越接近于圆，面积越大；
   2. （2）当面积一定时，平面图形越接近与圆，周长越小。
   3. （3）周长相等的多边形中，以正多边形的面积为最大。
2. 2、立体几何中：
   1. （1）当表面积一定时，立体图形越接近于球，体积越大；
   2. （2）当体积一定，立体图形越接近于球，表面积越小。

五、解题思路

1. 1、根据题意，画出几何示意图。
2. 2、如果是规则图形，
3. 3、如果不是规则图形，通过等方法转化成规则图形，再按照相对应的公式列方程或直接计算。
4. 4、在考场上，如果是求长度，可以用直尺量出几何图形的长、宽、高等辅助计算（不能带尺子的话就算了），注意要成比例。

六、随笔练习

例1：(2015国考) 某学校准备重新粉刷升国旗的旗台，该旗台由两个正方体上下叠加而成，边长分别为 1 米和 2 米，问需要粉刷的面积为：（ ）

1. A.30 平方米
2. B.29 平方米
3. C.26 平方米
4. D.24 平方米

解析

5. 小正方体每个面的面积为 1²=1，表面积为1×6=6；大正方体每个面的面积为2²=4，表面积为4×6=24；则两个正方体的总面积为 6+24=30m²。小的正方体在大的上面，所以其中重合部分为两个小正方体的面，面积为 2×1=2m²，并且大正方体作为旗台，其底面不用粉刷，故需要粉刷的面积为 30-2-4=24m²。故正确答案为 D。

例2：(2021国考)在一块下图所示的梯形土地中种植某种产量为1.2千克/平方米的作物。已知该梯形的高为100米，ABC、BCD、和CDE为正三角形，且BAF和DEG的角度都是90度，问该土地的总产量为多少吨？

2. A.$\frac{72}{\sqrt{3}}$
3. B.$\frac{84}{\sqrt{3}}$
4. C.$\frac{108}{\sqrt{6}}$
5. D.$\frac{126}{\sqrt{6}}$

解析

6. 题干已知了单位产量，要求总产量，则需求出图形的面积；
7. 给定图形为梯形，面积=（上底+下底）×高／2，高为100米；
8. 整理题干条件并标注如下：
10. 由已知的直角和正三角形，易求得：正三角形的边长为$\frac{200}{\sqrt{3}}$，BF=DG=$\frac{400}{\sqrt{3}}$
11. 即梯形的上底和下底分别为：FG=$\frac{1000}{\sqrt{3}}$，AE=$\frac{400}{\sqrt{3}}$
12. 梯形的面积S=（FG+AE）× 100 ÷ 2 = $\frac{70000}{\sqrt{3}}$
13. 总产量为：1.2×$\frac{70000}{\sqrt{3}}$=$\frac{84000}{\sqrt{3}}$

例3：(2018国考) 一艘非法渔船作业时发现其正右方有海上执法船，于是沿下图所示方向左转 30°后，立即以 15 节 (1 节 =1 海里 / 小时 ) 的速度逃跑，同时执法船沿某一直线方向匀速追赶，并正好在某一点追上。已知渔船在被追上前逃跑的距离刚好与其发现执法船时与执法船的距离相同，问执法船的速度为多少节 ?

2. A. 20
3. B. 30
4. C. $10\sqrt{3}$
5. D. $15\sqrt{3}$

解析

7. 根据题意可知，非法渔船和执法船的行驶路线为上图所示，非法渔船在 A 点被追上。由于非法渔船的逃跑距离和发现执法船时其与执法船的距离相同，假设距离为 a，即 OA=OB=a； 渔船左转 30°， 即 ∠AOB=120°。
8. 又因为 CB=$\frac{\sqrt{3}}{2}$OB=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，因此 AB=2×CB=2×$\frac{\sqrt{3}}{2}$a=$\sqrt{3}$a。渔船从 O 到 A，执法船从 B 到 A，行驶时间相同，假设执法船速度为 ν 节，则有 $\frac{a}{15}=\frac{\sqrt{3}a}{v}$，解得 v= 15$\sqrt{3}$。故正确答案为 D。

例4：(2020新疆) 某演播大厅的地面形状是边长为100米的正三角形，现要用边长为2米的正三角形砖铺满（如图所示）。问，需要用多少块砖？

2. A. 2763
3. B. 2500
4. C. 2340
5. D. 2300

解析

6. 第一步，本题考查几何问题，属于几何特殊性质类。
7. 第二步，小正三角形和大正三角形为相似图形，相似图形面积比=边长平方之比，边长比为 100∶2=50∶1，面积比为50²：1²=2500∶1，需要边长为2米的正三角形2500块。

例5：(2015江苏) 一实心圆锥体的底面半径为r，母线长为2r。若截圆锥体得到两个同样的锥体（如图），则所得两个锥体的表面积之和与原圆锥体表面积的比值是

2. A. 1 ：2
3. B. π+4$\sqrt{3}$ ：6
4. C. 3π+2$\sqrt{3}$ ：3π
5. D. 3π+4 ：6π

解析

6. 已知圆锥体的底面半径为r，母线长为2r，圆锥体的表面积=底面积 + 侧面积，底面积=πr²，侧面积=πrl=πr×2r，则锥体的表面积=πr²+2πr²=3πr²。所截得的两个锥体的表面积之和要比原圆锥体的表面积多两个等边三角形截面的面积，等边三角形的边长为2r，每个角60°，则高=2r×sin60°=$\sqrt{3}$×r，其面积为$\sqrt{3}$×r×2r÷2=$\sqrt{3}$r²
7. 那么两个锥体的表面积之和为3πr² + 2 × $\sqrt{3}$r²。则两个锥体的表面积之和与原圆锥体表面积的比值是3πr² + 2$\sqrt{3}$r²：3πr²，约掉πr²后：3π+2$\sqrt{3}$ ：3π。
8. 故正确答案为C。

例7：(2025上海28%) 某公司研发一款饮料瓶，一开始瓶身为圆柱，高h=10cm，底面半径r=5cm。为了更为美观，则以上底面为球的大圆做一个半球，轴截面如图所示。则瓶子的体积约为（ ）cm³。（精确到1cm³）

2. A. 1440
3. B. 1047
4. C. 930
5. D. 865

解析

5. 根据题意，该饮料瓶由两部分组成，上半部分是半径为5cm的半球，下半部分是高为10cm，底面半径为5cm的圆柱。
6. 根据球的体积公式：4$\pi r³$÷3，则上半部分半球体积=0.5×4×π×5³÷3=$\frac{250\pi }{3}$cm³。
7. 根据圆柱体积公式：底面积(πr²)×高(h) ，则下半部分圆柱体积=π×5²×10=(250π)cm³。
8. 故该饮料瓶的体积为$\frac{250\pi }{3}$+250π=$\frac{1000\pi }{3}$≈1047cm³。(π取3.14)
9. 故正确答案为B。

例8：(2019新疆)某健身馆准备将一块周长为100米的长方形区域划为瑜伽场地，将一块周长为160米的长方形区域划为游泳场馆。若瑜伽场地和游泳场馆均是满足周长条件下的最大面积。问两块场地面积之差为多少平方米？（ ）

1. A. 625
2. B. 845
3. C. 975
4. D. 1150

解析

5. 设瑜伽场地的长为x，根据周长公式，则宽为100÷2-x=50-x，根据理论：周长相等的多边形中，以正多边形的面积为最大。要使四边形面积最大，则为正方形，因此x=50-x，x=25，此时面积最大值为25×25=625平方米
6. 同理，设游泳场馆的长为y米，则宽为160÷2-y=80-y，则当y=40时面积最大值为1600平方米。则题干所求为1600-625=975平方米。

例8：(2024江苏)某品牌奶茶所用纸杯均为圆台型。已知M型纸杯的上、下口直径分别为70毫米、50毫米，高为80毫米；N型纸杯的上、下口直径分别为60毫米、45毫米，高为60毫米。则M型纸杯与N型纸杯的侧面积之比为（ ）。

1. A. 16：7
2. B. 32：21
3. C. 48：35
4. D. 64：49

解析

5. 本题考查求圆台的侧面积，圆台侧面积=π×（R+r）×l。其中r和R分别为上、下底面的半径，l为侧面母线长（如下图所示）。
7. M型纸杯：r=50÷2=25毫米，R=70÷2=35毫米，则l=$\sqrt{(35-25{)}^2+{80}^2}=10\sqrt{65}$
8. N型纸杯：r=22.5毫米，R=30毫米，则l=$\sqrt{(30-22.5{)}^2+{60}^2}=7.5\sqrt{65}$
9. 故所求比例为：$\pi \times (25+35)\times 10\sqrt{65}$：$\pi \times (22.5+30)\times 7.5\sqrt{65}$=32：31
10. 故正确答案为B。