几何问题

一、基础公式

  ：平面图形的边界长度，简单来说就是围绕一个平面图形的一圈长度。对于圆形，则指圆的边界，称为圆周长或圆周。
  ：面积是对一个平面的表面多少的测量。 对立体物体所有表面的面积称表面积。 对立体物体最底下的面的面积称底面积。
  ：表面积是指一个物体所有表面积的总和，包括平面和曲面上的面积。
  ：体积是指物体所占空间的大小，即物体在三维空间中所占据的容积。体积是衡量物体占据空间多少的量，其国际单位制的基本单位是立方米，用符号m³表示。

平面图形

	周长公式	面积公式
长方形	$(\mathrm{长}+\mathrm{宽})\times 2$	$\mathrm{长}\times \mathrm{宽}$
正方形	$\mathrm{边}\mathrm{长}\times 4$	$\mathrm{边}\mathrm{长}\times \mathrm{边}\mathrm{长}$
三角形		$\mathrm{底}\times \mathrm{高}÷2$
平行四边形		$\mathrm{底}\times \mathrm{高}$
梯形		$(\mathrm{上}\mathrm{底}+\mathrm{下}\mathrm{底})\times \mathrm{高}÷2$
圆($\pi \approx 3.14$)	$\pi ·\mathrm{直}\mathrm{径}=2\pi ·\mathrm{半}\mathrm{径}$	$\pi ·\mathrm{半}{\mathrm{径}}^2$
扇形		$(\mathrm{弧}\mathrm{长}\times \mathrm{半}\mathrm{径})÷2$

立体图形

	表面积公式	体积公式
长方体	$(\mathrm{长}\times \mathrm{宽}+\mathrm{长}\times \mathrm{高}+\mathrm{宽}\times \mathrm{高})\times 2$	$\mathrm{长}\times \mathrm{宽}\times \mathrm{高}$
正方体	$\mathrm{棱}\mathrm{长}\times \mathrm{棱}\mathrm{长}\times 6$	$\mathrm{棱}\mathrm{长}\times \mathrm{棱}\mathrm{长}\times \mathrm{棱}\mathrm{长}$
圆柱体	$\mathrm{上}\mathrm{底}\mathrm{面}\mathrm{积}+\mathrm{下}\mathrm{底}\mathrm{面}\mathrm{积}+\mathrm{侧}\mathrm{面}\mathrm{积}$	$\mathrm{底}\mathrm{面}\mathrm{积}\times \mathrm{高}$
圆锥体		$\mathrm{底}\mathrm{面}\mathrm{积}\times \mathrm{高}÷3$
球	$4\pi ·\mathrm{半}{\mathrm{径}}^2$	$4\pi ·\mathrm{半}{\mathrm{径}}^3÷3$

二、三角函数

直角三角形

1. $sinA=\frac{a}{c}$
2. $cosA=\frac{b}{c}$
3. $tanA=\frac{a}{b}$

常用三角函数值

	30°	45°	60°
$sin$	$\frac{1}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$
$cos$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{1}{2}$
$tan$	$\frac{\sqrt{3}}{3}$	$1$	$\sqrt{3}$

三、图形定理

1. 三角形常用知识点
   1. (1) 两边之和大于第三边，两边之差小于第三边
   2. (2) 三角形内角和为 180°。
   3. (3) 勾股定理： $a^2+b^2=c^2$
      1. 常用勾股数：
2. 将一个图形尺度扩大为N倍
   1. (1) 对应角度不变
   2. (2) 对应周长变为原来的N倍
   3. (3) 面积变为原来的N×N倍
   4. (4) 体积变为原来的N×N×N倍

四、解题思路

  1.规则图形，
  2.不规则图形，通过等方法转化成规则图形，再按照相对应的公式列方程或直接计算。

五、随笔练习

1. 例1：(2015国考) 某学校准备重新粉刷升国旗的旗台，该旗台由两个正方体上下叠加而成，边长分别为 1 米和 2 米，问需要粉刷的面积为：（ ）
2. A. 30 平方米
3. B. 29 平方米
4. C. 26 平方米
5. D. 24 平方米

：小正方体每个面的面积为 $1^2=1$，大正方体每个面的面积为$2^2=4$，两个正方体的总面积为 $6\times 1+6\times 4=30m^2$，其中重合部分为两个小正方体的面，面积为 $2\times 1=2m^2$，而大正方体作为旗台，其底面不用粉刷，故需要粉刷的面积为 $30-2-4=24m^2$。故正确答案为 D。

1. 例2：(2015国考) 现要在一块长 25 公里、宽 8 公里的长方形区域内设置哨塔，每个哨塔的监视半径为 5 公里。如果要求整个区域内的每个角落都能被监视到，则至少需要设置多少个哨塔 ?（ ）
2. A. 7
3. B. 6
4. C. 5
5. D. 4

：如下图所示：

根据直角三角形勾股定理有 $5^2-4^2=3^2$，则每个圆形可覆盖一个宽为$3\times 2=6$公里的长方形。要达到完全覆盖25公里，故需要$\frac{25}{6}\approx 4.17$个，至少 5 个。故正确答案为 C。

1. 例3：(2018国考) 一艘非法渔船作业时发现其正右方有海上执法船，于是沿下图所示方向左转 30°后，立即以 15 节 (1 节 =1 海里 / 小时 ) 的速度逃跑，同时执法船沿某一直线方向匀速追赶，并正好在某一点追上。已知渔船在被追上前逃跑的距离刚好与其发现执法船时与执法船的距离相同，问执法船的速度为多少节 ?
   
2. A. $20$
3. B. $30$
4. C. $10\sqrt{3}$
5. D. $15\sqrt{3}$

：根据题意可知，非法渔船和执法船的行驶路线为上图所示，非法渔船在 A 点被追上。由于非法渔船的逃跑距离和发现执法船时其与执法船的距离相同，假设距离为 a，即 OA=OB=a； 渔船左转 30°， 即 ∠AOB=120°。又因为 CB=$\frac{\sqrt{3}}{2}$OB=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，因此 AB=2×CB=2×$\frac{\sqrt{3}}{2}$a=$\sqrt{3}$a。渔船从 O 到 A，执法船从 B 到 A，行驶时间相同，假设执法船速度为 ν 节，则有 $\frac{a}{15}=\frac{\sqrt{3}a}{v}$，解得 v= 15$\sqrt{3}$。故正确答案为 D。