递推数列

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递推数列是数字推理中难度较高的一类题型，虽然题量不大，但是考查形式变化多样，属于数字推理题目中的难点。

一、基本特征

1. 1、数列中前面的项通过某种特定的运算，得出下一项从而形成规律，通常将数列中的两项进行运算得到第三项。常见的运算方式有和、差、积、方、倍、商等。
2. 2、当数列无明显特征，排除“非特征数列”、“非多级数列”时候，考虑递推。

二、解题技巧

1. 1、注意：一般圈3个数进行推理，以下数A、B、C是没有顺序的，但是相邻。A可以是第一项或第二项或第三项，B、C同理。

2. 2、递推和：$A+B=C$ 或者 $A+B\pm n=C$

3. 3、递推倍：$MA+NB=C$ 或者 $MA\pm n=B$ (系数M和修正项n，可能会在变化。其中系数M，N小于等于4。)

4. 4、递推积：$A\times B=C$ 或 $A\times B\pm n=C$ (当两项相乘与第三项比较接近的时候可以判断为递推积)

5. 5、递推方：$A^2\pm mB=C$ 或者 $B^2\pm mA=C$，$m\le 4$ (数列一般变化比较大、比较快比较急。国考还曾经考过$(A\pm B{)}^2=C$，那如何判断平方放在哪里呢?我们一般圈出三个数，先把平方放在一个数上，如果平方之后与C相差太远，那么一般来讲是放错了。)

6. 6、常见的复合规律：$\frac{A+B}{2}=C$、$\frac{A+B}{3}=C$、$A+\frac{B}{2}=C$、$A\times (B-A)=C$、$A\times (B-C)=D$

三、随笔练习

例1：(2018新疆) 15、20、40、65、()、180

1. A.110
2. B.115
3. C.120
4. D.125

解析

5. 数列呈现递增趋势且增加趋势平缓，尝试作差无规律后，考虑递推数列。
6. 选取较大的三项20、40、65，观察它们之间的关系，发现20+40+5=65，即。
7. 验证此规律，15+20+5=40成立，则所求项为40+65+5=110。
8. 向后验证发现65+110+5=180，也满足此规律。
9. 正确答案为A

例2：(2018浙江) 2、3、10、26、72、()

1. A.
2. B.
3. C.
4. D.

解析

5. 数列各项依次增加，数列后半部分大致是3倍关系，变化较为平稳，尝试寻找3倍递推关系无结果。
6. 考虑其他可能的递推，取较大的连续三项10、26、72，观察这三项数字之间的关系。
7. 若想由10和26这两个较小的数字得到72，而两者相乘远大于72，则考虑复合计算递推。
8. 选取较大的三项10、26、72，发现(10+26)×2=72。
9. 验证此规律，(2+3)×2=10，(3+10)×2=26，故数列满足，故题干所求项为(26+72)×2= 196。
10. 正确答案为C

例3：(2020江苏) 3、7、16、36、80、()

1. A.176
2. B.148
3. C.166
4. D.188

解析

5. 数列各项依次增加，数列后半部分大致呈2倍关系，变化较为平稳，因此尝试寻找2倍递推关系求解。
6. 选取较大的三项7、16、36，观察它们之间的关系，发现16=7×2+2，36=16×2+4。其他项有7=3×2+1，80=36×2+8。
7. 故原数列满足，此数列是公比为2的等比数列，故其下一项为8×2=16。
8. 则题干所求项为80×2+16=176。正确答案为A

例4：(2019江苏) 2、4、8、33、266、()

1. A.8781
2. B.9364
3. C.7528
4. D.6742

解析

5. 数列各项依次增加，数列前半部分变化较慢，后半部分变化较快，结合选项可知所求项变化速度很快，因此考虑利用乘积或幂次递推关系求解。
6. 选取较大的三项4、8、33，观察它们之间的关系，发现33=4×8＋1。其他项有8=2×4＋0，266=8×33＋2。
7. 故题干数列满足。
8. 故题干所求项为33×266+3=8781。
9. 正确答案为A

例5：(2018广东) 1、2、5、26、()

1. A.377
2. B.477
3. C.577
4. D.677

解析

5. 数列各项依次增加，数列前半部分变化较慢，后半部分变化特别快，因此考虑利用乘积或幂次递推关系求解。
6. 选取较大的三项2、5、26，观察它们之间的关系，发现26=$5^2$+1，5=$2^2$+1，2=$1^2$+1。
7. 故题干数列满足:后一项=$\mathrm{前}\mathrm{一}{\mathrm{项}}^2$+1，则题干所求项应为${26}^2$+1=677。
8. 故正确答案为D。

例6：(2017天津) 3，7，16，107，( )

1. A.1707
2. B.1704
3. C.1086
4. D.1072

解析

5. 观察数列，发现数列无明显特征，作差无规律，考虑递推数列。
6. 取7、16、107，发现第三个数字107较大，通过和或者倍难以达到，这个时候可以考虑乘积，7×16=112，发现112比107大了5，所以考虑a×b-5=c进行验证，发现整个数列满足该条件，所以16×107-5=1707。
7. 故正确答案为A

例7：(2019深圳) 1、3、-1、-5、11、()

1. A.-49
2. B.-1
3. C.-61
4. D.0

解析

5. 数列无明显特征，作差后得到的数列仍无明显规律，考虑递推关系。
6. 选取较大的四项3、-1、-5、11，观察发现3+(-1)+(-5) =3×(-1)，(-1)+(-5)+11=(-1)×(-5)。其他项有1+3+(-1)=1×3。
7. 故题干数列满足。依此规律，(-5)+11+所求项=(-5)×11，则题干所求项为-61。
8. 故正确答案为C

例8：(2019天津某某服务中心招聘) 4，12，8，10，（ ）

1. A.6
2. B.8
3. C.9
4. D.24

解析

5. 方法一：观察数列，发现数字没有明显特征，考虑递推。观察12、8、10三个数，发现规律，（12+8）÷ 2 =10，（4+12）÷ 2 =8。即（第一项+第二项）÷2=第三项。故所求项=（8+10）÷2=9。
6. 方法二：观察数列，发现数字没有明显特征，考虑作差。两两作差得到新数列：8、-4、2，观察发现新数列是公比为-0.5的等比数列，则下一项为-1。因此所求项=10+（-1）=9。
7. 故正确答案为C