递推数列

   递推数列是数字推理中难度较高的一类题型，虽然题量不大，但是考查形式变化多样，属于数字推理题目中的难点。

一、题型特征

   

二、解题技巧

1. 注意：以下的式子A、B、C是没有顺序的，但是相邻。A可以是第一项或第二项或第三项，B、C同理。
2. 递推和：$A+B=C$ 或者 $A+B\pm n=C$
3. 递推倍：$MA+NB=C$ 或者 $MA\pm n=B$ (系数M和修正项n，可能会在变化。其中系数M，N小于等于4。)
4. 递推积：$A\times B=C$ 或 $A\times B\pm n=C$ (当两项相乘与第三项比较接近的时候可以判断为递推积)
5. 递推方：$A^2\pm mB=C$ 或者 $B^2\pm mA=C$，$m\le 4$ (数列一般变化比较大、比较快比较急。国考还曾经考过$(A\pm B{)}^2=C$，那如何判断平方放在哪里呢?我们一般圈出三个数，先把平方放在一个数上，如果平方之后与C相差太远，那么一般来讲是放错了。)

三、随笔练习

1. 例1：(2018新疆)15、20、40、65、()、180
2. A. 110  B. 115
3. C. 120  D. 125

：数列呈现递增趋势且增加趋势平缓，尝试作差无规律后，考虑递推数列。
选取较大的三项20、40、65，观察它们之间的关系，发现20+40+5=65，即。验证此规律，15+20+5=40成立，则所求项为40+65+5=110。向后验证发现65+110+5=180，也满足此规律。正确答案为A

1. 例2：(2018浙江)2、3、10、26、72、()
2. A. 124  B. 170
3. C. 196  D. 218

：数列各项依次增加，数列后半部分大致是3倍关系，变化较为平稳，尝试寻找3倍递推关系无结果。考虑其他可能的递推，取较大的连续三项10、26、72，观察这三项数字之间的关系。若想由10和26这两个较小的数字得到72，而两者相乘远大于72，则考虑加减递推。
选取较大的三项10、26、72，发现(10+26)×2=72。验证此规律，(2+3)×2=10，(3+10)×2=26，故数列满足，故题干所求项为(26+72)×2= 196。正确答案为C

1. 例3：(2020江苏)3、7、16、36、80、()
2. A. 176  B. 148
3. C. 166  D. 188

：数列各项依次增加，数列后半部分大致呈2倍关系，变化较为平稳，因此尝试寻找2倍递推关系求解。
选取较大的三项7、16、36，观察它们之间的关系，发现16=7×2+2，36=16×2+4。其他项有7=3×2+1，80=36×2+8。故原数列满足，此数列是公比为2的等比数列，故其下一项为8×2=16。则题干所求项为80×2+16=176。正确答案为A

1. 例4：( 2019江苏)2、4、8、33、266、()
2. A. 8781  B. 9364
3. C. 7528  D. 6742

：数列各项依次增加，数列前半部分变化较慢，后半部分变化较快，结合选项可知所求项变化速度很快，因此考虑利用乘积或幂次递推关系求解。
选取较大的三项4、8、33，观察它们之间的关系，发现33=4×8+1。其他项有8=2×4+0，266=8×33+2。故题干数列满足。故题干所求项为33×266+3=8781。

1. 例5：( 2018广东)1、2、5、26、()
2. A. 377  B. 477
3. C. 577  D. 677

：数列各项依次增加，数列前半部分变化较慢，后半部分变化特别快，因此考虑利用乘积或幂次递推关系求解。
选取较大的三项2、5、26，观察它们之间的关系，发现$5=2^2+1$，$26=5^2+1$。其他项有$2=1^2+1$。故题干数列满足:$\mathrm{后}\mathrm{一}\mathrm{项}=\mathrm{前}\mathrm{一}{\mathrm{项}}^2+1$，则题干所求项应为${26}^2+1=677$。故正确答案为D。

1. 例6：( 2017天津)3，7，16，107，( )
2. A. 1707  B. 1704
3. C. 1086  D.1072

：观察数列，发现数列无明显特征，作差无规律，考虑递推数列。圈3项，取 7、16、107，发现第三个数字107较大，通过和或者倍难以达到，这个时候可以考虑乘积，7×16=112，发现112比107大了5，所以考虑a×b-5=c进行验证，发现整个数列满足该条件，所以16×107-5=1707。

1. 例7：( 2019深圳)1、3、-1、-5、11、()
2. A. -49  B. -1
3. C. -61  D. 0

：数列无明显特征,作差后得到的数列仍无明显规律,考虑递推关系。
选取较大的四项3、-1、-5、11，观察发现3+(-1)+(-5) =3×(-1)，(-1)+(-5)+11=(-1)×(-5)。其他项有1+3+(-1)=1×3。故题干数列满足。依此规律，(-5)+11+所求项=(-5)×11，则题干所求项为-61。这题比较难，这种规律比较少见。