逆向推理

一、什么是逆向推理

如果一道题从正面求解所涉及的情况比较复杂，计算起来比较麻烦的话，那么我们就可以从其相对的一面进行考虑，或者以最终状态作为突破口进行反推计算，以此来简化问题的一种解题思维。
：将过程颠倒，形成与之相反的运算过程从后往前获得所求值。
：当所求情况过多、计算复杂时，可以考虑用整体减去与之相反的情况来求解，简化计算过程。
小贴士：逆向思维往往用在一些正面处理较为复杂的实际问题中。。
1. （1）遇到一个事物经过若干次过程后，剩下多少，最后问原来有多少或由最后推回去的个数时，可以采用逆向推理。在正向推时加上一个数，则逆向推时就减去这个数，正向推时除以一个数，则逆向推时就乘以这个数。
2. （2）在概率计算中，如果正面计算需要分好几类进行讨论时，我们可以结合P正+P反= 100%来进行逆向计算；一般来说，如果正面分类太多时，反面反而更为简单，因此先把不符合要求的反面概率先计算出来，再用100%-P反即可得到符合要求的正面概率。

例1：(2020上海)天气预报预测未来2天的天气情况如下，第一天晴天50%、下雨20%、下雪30%;第二天晴天80%、下雨10%、下雪10%，则未来两天天气状况不同的概率为（）

解析

第一步,本题考查概率问题,属于。
第二步,根据问题“未来两天天气状况不同的概率”进行分析，发现两天天气不同的情况非常复杂前后两天天气不同的情况有晴雨，晴雪。雨晴，雨雪，雪晴，雪雨共六种。，因此可以得到天气相同的概率为50%×80%+20%×10%+30%×10%=45%。
第三步,两天天气不同的概率为100%-45%=55%。答案为C

例2：(2012安徽) 某数加上 5 再乘以 5 再减去 5 再除以 5，最终结果还是 5，这个数是多少？（）

解析

例3：（2014国家40%）30个人围坐在一起轮流表演节目。他们按顺序从1到3依次不重复地报数，数到3的人出来表演节目，并且表演过的人不再参加报数，那么在仅剩一个人没表演过节目的时候，共报数多少人次：

解析

例4：（2016山东选调）单位工会组织拔河比赛，每支参赛队都由3名男职工和3名女职工组成。假设比赛时要求3名男职工的站位不能全部连在一起，则每支队伍有几种不同的站位方式？

解析

此题要求3名男职工不能全连在一起，若正向分析，满足该要求的情况可分为两大类：
①3名男职工互不相邻;
②其中2位男职工相邻，且与第三位男职工不相邻。
而第二类情况中还需进一步分析哪两位男职工相邻，分类较为复杂，计算方法数时容易出现遗漏或重复，这时我们可以尝试利用逆向思维解题。
“3名男职工不全连在一起”的对立面是“3名男职工全连在一起”，利用捆绑法，总共6个人，三个男职工捆绑看成一个人，此时只要排序4个人， $A_{4}^{4}$ =24，注意捆绑内部也要排序， $A_{3}^{3}$ =6，分步用乘法，则“3名男职工全连在一起”方法数为24×6=144种。而6名职工排列站位总的方法数为 $A_{6}^{6}$ =720种因此，所求“3名男职工不全连在一起”的方法数为720144-576种。故本题选C。

例5：(2018江苏) 某市公安局从辖区 2 个派出所分别抽调 2 名警察，将他们随机安排到 3 个专案组工作，则来自同一派出所的警察不在同一组的概率是？（）

解析

首先算出总的情况数，从 4 人中选 2 人，即 $C_{4}^{2} = 6$ 。随机安排到三个工作组，必然是 2、1、1 的分组形式，则 $A_{3}^{3} = 6$ ，总情况数 =6×6=36 种。由于和自己来自同派出所的仅一人，不同派出所的有两人，所以同派出所在一组的情况更少，我们可以用 1 减掉在同一组概率求解。则 $P = 1 - C_{2}^{1} \times A_{3}^{3} \div 36 = \frac{2}{3}$ 。故正确答案为 A。