逆向推理

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一、什么是逆向推理

1. 如果一道题从正面求解所涉及的情况比较复杂，计算起来比较麻烦的话，那么我们就可以从其相对的一面进行考虑，以作为突破口进行反推计算，以此来简化问题的一种解题思维。

1. ：将过程颠倒，形成与之相反的运算过程从后往前获得所求值。
2. ：当所求情况过多、计算复杂时，可以考虑用整体减去与之相反的情况来求解，简化计算过程。

3. 小贴士：逆向思维往往用在一些正面处理较为复杂的实际问题中。。

   1. （1）遇到一个事物经过若干次过程后，剩下多少，最后问原来有多少或由最后推回去的个数时，可以采用逆向推理。在正向推时加上一个数，则逆向推时就减去这个数，正向推时除以一个数，则逆向推时就乘以这个数。
   2. （2）在概率计算中，如果正面计算需要分好几类进行讨论时，我们可以结合P正+P反= 100%来进行逆向计算；一般来说，如果正面分类太多时，反面反而更为简单，因此先把不符合要求的反面概率先计算出来，再用100%-P反即可得到符合要求的正面概率。

二、随笔练习

例1：(2020上海)天气预报预测未来2天的天气情况如下，第一天晴天50%、下雨20%、下雪30%;第二天晴天80%、下雨10%、下雪10%，则未来两天天气状况不同的概率为（）

1. A.45%
2. B.50%
3. C.55%
4. D.60%

解析

6. 第一步,本题考查概率问题,属于。
   第二步,根据问题“未来两天天气状况不同的概率”进行分析，发现两天天气不同的情况非常复杂前后两天天气不同的情况有晴雨，晴雪。雨晴，雨雪，雪晴，雪雨共六种。，因此可以得到天气相同的概率为50%×80%+20%×10%+30%×10%=45%。
   第三步,两天天气不同的概率为100%-45%=55%。答案为C

例2：(2012安徽) 某数加上 5 再乘以 5 再减去 5 再除以 5，最终结果还是 5，这个数是多少？（ ）

1. A.0
2. B.1
3. C.-1
4. D.5

解析

6. 。题干已经给出了正面运算的步骤，我们将步骤倒推即可得出原数。即（5×5+5）÷5-5=1，所以这个数是 1。故正确答案为 B。

例3：（2014国家40%）30个人围坐在一起轮流表演节目。他们按顺序从1到3依次不重复地报数，数到3的人出来表演节目，并且表演过的人不再参加报数，那么在仅剩一个人没表演过节目的时候，共报数多少人次：

1. A.87
2. B.117
3. C.57
4. D.77

解析

5. 此题若正向分析，则需梳理整个报数过程才可枚举出报数的人次数，情况较为复杂，因此可以考虑利用逆向思维，从最终状态入手。
6. 由于最后仅剩一人没有表演过节目，因此共有30-1=29人表演过节目，又因为每报数3人次即有1人表演节目，所以共报数29×3=87人次。故本题选D。

例4：（2016山东选调）单位工会组织拔河比赛，每支参赛队都由3名男职工和3名女职工组成。假设比赛时要求3名男职工的站位不能全部连在一起，则每支队伍有几种不同的站位方式？

1. A.432
2. B.504
3. C.576
4. D.720

解析

5. 此题要求3名男职工不能全连在一起，若正向分析，满足该要求的情况可分为两大类：
6. ①3名男职工互不相邻;
7. ②其中2位男职工相邻，且与第三位男职工不相邻。
8. 而第二类情况中还需进一步分析哪两位男职工相邻，分类较为复杂，计算方法数时容易出现遗漏或重复，这时我们可以尝试利用逆向思维解题。
9. “3名男职工不全连在一起”的对立面是“3名男职工全连在一起”，利用捆绑法，总共6个人，三个男职工捆绑看成一个人，此时只要排序4个人，$A_4^4$=24，注意捆绑内部也要排序，$A_3^3$=6，分步用乘法，则“3名男职工全连在一起”方法数为24×6=144种。而6名职工排列站位总的方法数为$A_6^6$=720种因此，所求“3名男职工不全连在一起”的方法数为720144-576种。故本题选C。

例5：(2018江苏) 某市公安局从辖区 2 个派出所分别抽调 2 名警察，将他们随机安排到 3 个专案组工作，则来自同一派出所的警察不在同一组的概率是？（ ）

1. A.$\frac{2}{3}$
2. B.$\frac{1}{4}$
3. C.$\frac{1}{3}$
4. D.$\frac{1}{2}$

解析

6. 首先算出总的情况数，从 4 人中选 2 人，即$C_4^2=6$。随机安排到三个工作组，必然是 2、1、1 的分组形式，则$A_3^3=6$，总情况数 =6×6=36 种。由于和自己来自同派出所的仅一人，不同派出所的有两人，所以同派出所在一组的情况更少，我们可以用 1 减掉在同一组概率求解。则 $P=1-C_2^1\times A_3^3÷36=\frac{2}{3}$。故正确答案为 A。

例6：(2022内蒙古32%) 某助农志愿小分队采摘到甲、乙、丙三筐枸杞共144斤。第一次从甲筐中取出与乙筐一样重的枸杞放入乙筐，第二次再从现有乙筐中取出与丙筐一样重的枸杞放入丙筐，第三次从现有丙筐中取出与现有甲筐一样重的枸杞放入甲筐，此时三筐枸杞一样重。那么原来甲筐中有枸杞：

1. A.36斤
2. B.48斤
3. C.56斤
4. D.66斤

解析

5. 方法一（耗时）：
   1. 设最初甲、乙、丙分别有x斤、y斤、z斤枸杞，则有x+y+z=144。
   2. 第一次从甲取出和乙一样重的给乙，则甲、乙、丙三筐分别为(x-y)、2y、z斤；
   3. 第二次从乙取出和丙一样重的给丙，则甲、乙、丙三筐分别为(x-y)、(2y-z)、2z斤；
   4. 第三次从丙取出和甲一样重的给甲，则甲、乙、丙三筐分别为(2x-2y)、(2y-z)、(2z-x+y)斤；
   5. 此时三筐一样重，则分别为144-3=48斤。
   6. 所以有2x-2y=48...①，2y-z=48...②，2z-x+y=48...③
   7. ①②③方程联立解得x=66，y=42，z=36，故正确答案为D。
6. 方法二（逆向）：
   1. 由于最后三枸杞一样重均为48斤，所以倒推回去即可。
   2. 第三次从丙取出和甲一样重的放入甲，则丙减少，甲变成2倍，所以甲有48÷2=24斤，乙不变还是48斤，丙有48+24=72斤。（）
   3. 第二次从乙取出和丙一样重的放入丙，所以第二次操作前，甲不变还是24斤，丙有72÷2=36斤，乙有48+36=84斤。
   4. 第一次从甲取出和乙一样重的放入乙，所以第一次操作前，乙有84÷2=42斤，甲有24+42=66斤，丙不变还是36斤，答案为D

例7：(2022浙江) 某单位四个党史宣讲小组各有若干组员，现增加2人并重新分配，使得四个小组人数相等。此时与原先相比，第一小组人数增加10人，第二小组人数减少1人，第三小组人数增加一倍，第四小组人数减半。则原先人数最多的小组与人数最少的小组之间相差：

1. A.15人
2. B.21人
3. C.24人
4. D.32人

解析

5. 方法一：列方程，总共四个方程，可以做，但是计算量太大，略。
6. 方法二（逆向）：
   1. 设四个小组人数相等时分别为x人，总人数为4x。
   2. 此时与原先相比，则原先四个小组分别为(x-10)、(x+1)、0.5x、2x人。（注意这里的人数是没有增加2人的）
   3. 增加2人并重新分配，使得四个小组人数相等，所以有(x-10) + (x+1) + 0.5x + 2x + 2 =4x，解得x=14。
   4. 原先四个小组分别为14-10=4人、14+1=15人，14-2=7人、14x2=28人。
   5. 则原先人数最多的小组与人数最少的小组之间相差28-4=24人。
   6. 故正确答案为C。