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数学常识 ​

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一、除数、被除数、商、余数 ​

在除法运算中，除数、被除数、商和余数是四个基本概念。它们的关系可以用以下公式表示：被除数 ÷ 除数 = 商……余数 或 被除数 = 除数 × 商 + 余数

  1. 1、被除数：被另一个数除的数（即被“分割”的数）。在算式 13 ÷ 5 = 2 余 3 中，13 是被除数。

  2. 2、除数：用来分割被除数的数。在算式 13 ÷ 5 = 2 余 3 中，5 是除数。

  3. 3、商：除法运算的结果（即整除后的整数部分）。在算式 13 ÷ 5 = 2 余 3 中，2 是商。

  4. 4、余数：被除数除以除数后，剩余无法再整除的部分。余数必须小于除数（余数 < 除数）。在算式 13 ÷ 5 = 2 余 3 中，3 是余数。

  5. 5、什么是整除？ 整除是指一个整数被另一个非零整数除尽，商为整数且无余数的数学关系。12 ÷ 4 = 3，余数0 → 4整除12；

二、质数、约数、质因数、倍数 ​

  1. 1、约数：又称因数，指能整除一个数的数。6的因数是1, 2, 3, 6。

  2. 2、质数：又称素数，指大于1的自然数，除了1和它本身外，没有其他约数。例2, 3, 5, 7, 11, 13...（注意：1不是质数）。

  3. 3、质因数：质因数是指一个正整数的约数，并且该数本身是质数。例如，在2×2×2=8这个等式中，数字2是数字8的约数，且2还是质数，因此2是8的质因数。

  4. 4、倍数：一个整数能够被另一个整数整除，这个整数就是另一整数的倍数。如15能够被3或5整除，因此15是3的倍数，也是5的倍数。不能把一个数单独叫做倍数，只能说谁是谁的倍数。

三、公约数 ​

  1. 1、公约数的定义：又称‌公因数，是指能同时整除若干个整数的整数，那这个整数称它为这些数的公约数；

    1. （1）任何两个整数至少有 1 个公约数（即 1）。
    2. （2）若两数的最大公约数是 1，则称它们互质（如 8 和 15）。

  2. 2、最大公约数是什么？ 公约数中最大的一个叫做最大公约数。例如，12和15的公约数是1、3，最大公约数为3。

  3. 3、如何找最大公约数？

    1. （1）列举法：简单粗暴
      1. 比如：找12和16的最小公倍数。我们可以先列出12的约数：1, 2, 3, 4, 6，然后列出16的约数：1, 2, 4, 8，你会发现，12和16的公约数有1, 2, 4。因为4是最大的，所以4就是它们的最大公约数。
    2. （2）筛选法：高效快捷
      1. 比如：找12和16的最小公倍数。我们可以先列出12的约数：1, 2, 3, 4, 6，然后看看这些数中哪些也是16的约数。你会发现，12和16的公约数有1, 2, 4。因为4是最大的，所以4就是它们的最大公约数。
    3. （3）分解质因数法：其实就是把两个数分解成质因数，然后取所有质因数的最低幂次相乘。
      1. 比如：找12和18的最小公倍数。利用分解质因数法，12=2²×3¹，18=2¹×3²，所以最大公约数为3¹×2¹=6。
    4. （4）欧几里得算法：用大数除以小数，取余数；用小数替换原大数，余数替换原小数；重复直到余数为 0，最后的非零余数即为最大公约数。
      1. 比如：找48和18的最大公约数。利用欧几里得算法，48 ÷ 18 = 2 余 12 → 18 ÷ 12 = 1 余 6 → 12 ÷ 6 = 2 余 0 → 最大公约数 = 6。

四、公倍数 ​

  1. 1、公倍数的定义：在两个或两个以上的自然数中，如果它们有相同的倍数，这些倍数就是它们的。

  2. 2、最小公倍数是什么？ 公倍数中最小的一个叫做最小公倍数。例如，4和6的公倍数有12、24、36...，最小公倍数为12。

    1. （1）如果两个数是，那么最小公倍数就是这两个数的乘积。
    2. （2）如果两个数存在倍数关系时，较大的数是它们的最小公倍数。
    3. （3）如果两数相等，最小公倍数仍为它们本身。

  3. 3、如何找最小公倍数？

    1. （1）列举法：简单粗暴
      1. 比如：找4和6的最小公倍数。我们可以先列出4的倍数：4, 8, 12, 16, 20, 24, 32... 然后列出6的倍数：6, 12, 18, 24, 30, 36... 你会发现，4和6的公倍数有12和24等等。因为12是最小的，所以12就是它们的最小公倍数。
    2. （2）筛选法：高效快捷
      1. 比如：找4和6的最小公倍数。我们先列出4的倍数：4, 8, 12, 16, 20, 24, 32... 然后看看这些数中哪些也是6的倍数。你会发现，12和24都是6的倍数，4和6的公倍数有12和24等等。因为12是最小的，所以12就是它们的最小公倍数。
    3. （3）分解质因数法：其实就是把两个数分解成质因数，然后取所有质因数的最大幂次相乘。
      1. 比如：找5、6、8的最小公倍数。5和6互质，先相乘等于30，那么变成找30、8的最小公倍数，利用分解质因数法，30=5¹×3¹×2¹，8=2³，所以最小公倍数等于2³×5¹×3¹，等于120。
    4. （4）短除法：先用这几个数的公约数去除每一个数，再用部分数的公约数去除，并把不能整除的数移下来，一直除到所有的商中每两个数都是互质的为止，然后把所有的除数和商连乘起来，所得的积就是这几个数的最小公倍数。
      1. 比如：求18、30、7的最小公倍数，用公约数2除，7不能被整除移下来，得余数9、15、7；再用公约数3除，得余数3、5、7（互质）；乘积=2×3×3×5×7=630 → 最小公倍数为630。