十字交叉

字数: 0 字   时长: 0 分钟

十字交叉法实际上是一种方程计算过程中的简化形式。，在行测中资料分析以及数量关系都会涉及到。

一、十字交叉法

1. 1、方法来源：十字交叉法最先是从溶液混合问题（）衍生而来的。公式：浓度（%）=$\frac{\mathrm{溶}\mathrm{质}}{\mathrm{溶}\mathrm{液}}$；若有两种溶液的质量分别为 $A$ 与$B$ ，其浓度分别为 $a$ 与 $b$，混合后浓度为 $r$，则由可列出下式 $Aa+Bb=(A+B)r$，对上式进行变形可得$\frac{r-b}{a-r}$=$\frac{A}{B}$分母之比，在解题过程中一般将此式转换成如下形式：
   

2. 2、注意：

   1. 拓展：为什么资料分析中求混合增长率用基期？
      增长率=增长量/基期，假设A与B混合后的增长率为c，因为增长量不变，基期A×增长率A+基期B×增长率B=(A+B)×c
      实际这里的比值是增长率与基期的比值。
      用基期量计算是精确的，但在资料分析中如果用基期量计算就失去了快速计算的意义，所以可以用现期量替代基期量来估算。

3. 3、口诀：

二、题型特征

（1）比值

1. 看到了符合以下的公式且存在的题目一般都能够运用十字交叉法。
   1. 浓度（%）=$\frac{\mathrm{溶}\mathrm{质}}{\mathrm{溶}\mathrm{液}}$
   2. 利润率（%）=$\frac{\mathrm{利}\mathrm{润}}{\mathrm{成}\mathrm{本}}$
   3. 折扣（%）=$\frac{\mathrm{售}\mathrm{价}}{\mathrm{原}\mathrm{价}}$
   4. 比重（%）=$\frac{\mathrm{部}\mathrm{分}}{\mathrm{整}\mathrm{体}}$
   5. 增长率（%）=$\frac{\mathrm{增}\mathrm{长}\mathrm{量}}{\mathrm{基}\mathrm{期}\mathrm{量}}$
   6. 平均数=$\frac{\mathrm{总}\mathrm{数}}{\mathrm{人}\mathrm{数}}$
   7. 比如：A班女生的比重为45%，B班女生的比重为60%，AB班女生的比重为55%。比重=女生/全班人数

（2）混合

1. 1、满足条件：两个部分混合成整体

2. 2、例如：全年=上半年+下半年；1-7月=1-6月+7月；进出口额=进口额+出口额；全国=城镇+乡村；总体=A+非A；房地产=房产+地产；全部=男人+女人；研究生=博士+硕士；A类和B类；

三、线段法

线段法是十字交叉法的变形，只是换了一种画法而已

1. 若有两种溶液的质量分别为 $A$ 与$B$ ，其浓度分别为 $a$ 与 $b$，混合后浓度为 $r$，
2. 口诀：
   1. （1）部分写两边，整体写中间。
   2. （2）距离和量成反比。（距离是指混合后的的距离的两端差）
   3. 上面的图根据口诀可得：$\frac{A}{B}=\frac{r-b}{a-r}$

四、随笔练习

例1：（2014四川）学校体育部采购一批足球和篮球，足球和篮球的定价分别为每个 80 元和 100 元。由 于购买数量较多，商店分别给予足球 25%、篮球 20% 的折扣，结果共少付了 22%。问购买的足球和篮球的数量之比是多少？（ ）

1. A.4：5
2. B.5：6
3. C.6：5
4. D.5：4

解析

6. 方法一：总折扣=折扣后总额/折扣前总额，足球部分少付了25%，篮球部分少付了20%，混合后少付了22%，典型 A，B 的混合题型，因此采用十字交叉法如下：
   
   即足球价格总额与篮球价格总额之比为 2：3。注意该比例是足球折扣前总额和篮球折扣前总额的比，设足球共买了 x 个，篮球共买了 y 个，则可列式为 80x：100y=2：3，解得 x：y=5：6。故本题选 B
7. 方法二：设足球共买了 a 个，篮球共买了 b 个，根据混合列式有25%×80a+20%×100b=（80a+100b）×22%，化简得60a+80b=62.4a+78b，因此a:b=5:6

例2：（2016联考）某高校艺术学院分音乐系和美术系两个系别，已知学院男生人数占人数的 30％，且音乐系男女生人数之比为 1：3，美术系男女生人数之比为 2：3，问音乐系和美术系的总人数之比为多少？

1. A.5：2
2. B.5：1
3. C.3：1
4. D.2：1

解析

6. 音乐系男生人数占比=音乐系男生/音乐系总人数，美术系男生人数占比=美术系男生/美术系总人数，因为音乐系男女人数之比为 1：3，可得音乐系男生人数占比为1/4=25%，美术系男女人数之比为 2：3 可得美术系男生人数占比2/5=40%，混合后男生人数占人数的 30%，A，B 的混合题型，因此采用十字交叉法如下：
7. 
8. 显然音乐系和美术系男生人数之比为 2：1，故本题选 D

例3：（2020江苏）某企业预计今年营业收入增长15%，营业支出增长10%，营业利润增加600万元。已知该企业去年的营业利润为1000万元，则其今年的预计营业支出是

1. A.9000万元
2. B.9900万元
3. C.10800万元
4. D.11500万元

解析

6. 方法一：
   1. 识别：增长率=增长量/基期，收入=支出 + 利润
   2. 根据题意可知收入增长15%，营业支出增长10%，去年的营业利润为1000万元，今年增加600万元，所以营业利润增长了600/1000=60%。
   3. 根据十字交叉法有 $\frac{15\mathrm{\%}-10\mathrm{\%}}{60\mathrm{\%}-15\mathrm{\%}}$=$\frac{5\mathrm{\%}}{45\mathrm{\%}}$=$\frac{\mathrm{去}\mathrm{年}\mathrm{利}\mathrm{润}}{\mathrm{去}\mathrm{年}\mathrm{支}\mathrm{出}}$=$\frac{1}{9}$
   4. 因为去年利润为1000万，所以去年支出为 9000万，今年的支出为: 900×（1+10%）=9900。
   5. 故本题选 B
7. 方法二：
   1. 设去年收入为x万元，则今年预计收入为(1+15%)r=1.15x万元；
   2. 设去年支出为y万元，则今年预计支出为(1+10%)y=1.1y万元。
   3. 去年营业利润为1000万元，则有x-y=1000…①。
   4. 今年营业利润增加600万元，则今年利润为1000+600=1600万元，则有1.15x-1.1y=1600…②。
   5. 联立方程，解得x=10000，y=9000，则今年的支出为1.1y=1.1x9000=9900万元。
   6. 故本题选 B

例4：（2019江苏）某银行为一家小微企业提供了年利率分别为6％、7％的甲、乙两种贷款，期限均为一年。若两种货款的合计数额为400万元，企业需付利息总额为25万元，则乙种贷款的数额是：

1. A.100万元
2. B.120万元
3. C.130万元
4. D.150万元

解析

6. 甲乙年利率分别为6％、7％，两种货款的合计数额为400万元，企业需付利息总额为25万元，则两种合计年利率为$\frac{25}{400}$=6.25%，使用十字交叉，甲：乙=（7%-6.25%）:（6.25%-6%）=3：1 ，总共400万，乙占一份，则乙为100万元，所以答案为A

例5：（2016北京）将1千克浓度为X的酒精，与2千克浓度为20%的酒精混合后，浓度变为0.6X。则X的值为？

1. A.50%
2. B.48%
3. C.45%
4. D.40%

解析

3. 典型的溶液混合。
   
   得到$\frac{0.6X-0.2}{0.4X}$=$\frac{1}{2}$。解得X=50%，选A

例6：（2017黑龙江）甲乙两队举行智力抢答比赛，两队平均得分为92分，其中甲队平均得分为88分，乙队平均得分为94分，则甲乙两队人数之和可能是:

1. A.20
2. B.21
3. C.23
4. D.25

解析

3. 平均数问题，甲队平均分=$\frac{\mathrm{甲}\mathrm{队}\mathrm{总}\mathrm{分}}{\mathrm{甲}\mathrm{队}\mathrm{人}\mathrm{数}}$，乙队平均分=$\frac{\mathrm{乙}\mathrm{队}\mathrm{总}\mathrm{分}}{\mathrm{乙}\mathrm{队}\mathrm{人}\mathrm{数}}$，混合后两队平均分=$\frac{\mathrm{两}\mathrm{队}\mathrm{总}\mathrm{分}}{\mathrm{两}\mathrm{队}\mathrm{人}\mathrm{数}}$，因此采用十字交叉法，可得甲乙两队人数比=（94-92）：（92-88）= 2：4 = 1：2，那么甲：乙=1：2，则甲乙总人数为3的倍数，选B。

例7：（2021浙江）由于采用了新的种植技术，某种农产品的产量和品质都得到了提升。在平均每亩增产25%的同时，每千克售价也增加了20%。尽管每亩生产成本增加了35%，但每亩利润也增加了100%。问采用新种植技术后，每亩利润占每亩销售收入的比例在以下哪个范围内？

1. A.不到25%
2. B.25%~35%
3. C.35%~45%
4. D.超过45%

解析

4. 方法一：
   1. 识别：增长率=增长量/，成本+利润=售价，每亩售价=每亩产量×每千克售价。
   2. 题干可知平均每亩增产25%，每千克售价增加了20%，因为每亩售价=每亩产量×每千克售价，那么根据乘积增长率公式可得每亩售价增加了25%+20%+20%×25%=50%。
   3. 成本+利润=售价，给的量都是比值，售价作为总量，利用十字交叉可得
   4. $\frac{100\mathrm{\%}-50\mathrm{\%}}{50\mathrm{\%}-35\mathrm{\%}}$=$\frac{50\mathrm{\%}}{15\mathrm{\%}}$=$\frac{\mathrm{原}\mathrm{来}\mathrm{的}\mathrm{成}\mathrm{本}}{\mathrm{原}\mathrm{来}\mathrm{的}\mathrm{利}\mathrm{润}}$=$\frac{10}{3}$
   5. 设原来的利润为3元，则原来的成本为10元
   6. 根据生产成本增加了35%，每亩利润也增加了100%可得：现在的利润=3×（1+100%）=6元，现在的成本=10+（1+35%）=13.5，现在的售价为13.5+6=19.5元
   7. 每亩利润占每亩销售收入的比例 = 6/19.5≈6/20=30%
   8. 故正确答案为C。
5. 方法二：
   1. 赋值该农产品在采用新的种植技术前的平均每亩产量为4，每千克售价为5，假设该农产品原来每亩的生产成本为x，则根据题意并结合公式：利润=售价-成本，可得下表：
   3. 则可知（20-x）×（1+100%）=30-1.35x，解得r=$\frac{200}{13}$。
   4. 采用新种植技术后，每亩利润=30-1.35x=$\frac{200}{13}$。每亩利润占每亩销售收入的比例=$\frac{200}{13}$÷30≈30.77%，故正确答案为B。

例8：（2022四川30%）某网店同时针对A、B两种商品开展促销活动，A商品只按组销售，每组的价格保持10元不变，但每组商品由4件增加到5件；B商品的优惠活动则为买一送一。张某以55元的价格购买了原价总计80元的A、B商品各若干件，其中A商品的件数为B商品的2倍。问B商品原价为多少元/件？

1. A.1.5
2. B.2
3. C.2.5
4. D.3

解析

4. 方法一：
   1. 识别：折扣=售价/原价，并且A.B 混合买。
   2. A商品由4件增加到5件：每件原价=10÷4=2.5，每件售价10÷5=2，折扣为2÷2.5=80%。
   3. B商品：买一送一，相对于打了5折，折扣为50%。
   4. A.B混合后原价80，售价55，折扣为55÷80=68.75%。
   5. 用十字交叉法：
   7. 注意 5：3表示A原价：B原价
   8. A.B共买了原价80元，所以A买了50元，B买30元。
   9. A的数量=总价÷单价=50÷2.5=20件
   10. 其中A商品的件数为B商品的2倍，B商品的数量=20÷2=10件
   11. B的原单价=30÷10=3元/件。故正确答案为D。
5. 方法二：
   1. 设B商品原价为m元/件，B商品购买了n件，则A商品购买了2n件。根据题意可列方程：
   2. $\frac{2n}{4}$×10+n×m=80....①
   3. $\frac{2n}{5}$×10+$\frac{n}{2}$×m=55....①
   4. 联立①②，解得x=3，n=10，即B商品原价为3元/件。
   5. 故正确答案为D。